九公里浅绿全国硕士研究生入学统一考试数学(一)历年真题(1987-2010)
1990年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
x t 2
(1)过点M(1,2 1)且与直线 y 3t 4垂直的平面方程是_____________.
z t 1
(2)设a为非零常数,则x axlim(
x a
)x
=_____________.
(3)设函数f(x) 10 x 1x 1
,则f[f(x)]=_____________. (4)积分
2
2
2
dx x
e ydy的值等于_____________.
(5)已知向量组α1 (1,2,3,4),α2 (2,3,4,5),α3 (3,4,5,6),α4 (4,5,6,7),
则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
x
(1)设f(x)是连续函数,且F(x)
ex
f(t)dt,则F (x)等于
(A) e x
f(e x) f(x)
(B) e x
f(e x) f(x)
(C)e
xf(e x
) f(x)
(D)e
xf(e x
) f(x)
(2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f (x) [f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数
f(n)(x)是
(A)n![f(x)]
n 1
(B)n[f(x)]
n 1
(C)[f(x)]2n
(D)n![f(x)]2n
(3)设a为常数,则级数
[
sin(na)n2 n 1
(A)绝对收敛
(B)条件收敛
(C)发散
(D)收敛性与a的取值有关
全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）历年真题
(4)已知f(x)在x 0的某个邻域内连续,且f(0) 0,limf(x)
x 01 cosx
2,则在点x 0处f(x)
(A)不可导
(B)可导,且f (0) 0 (C)取得极大值
(D)取得极小值
(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AX b的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX 0的基础解析,k1、k2为任意常数,则方程组AX b的通解(一般解)必是
(A)kβ1 β2
1α1 k2(α1 α2)
2 (B)kβ1 β2
1α1 k2(α1 α2)
2 (C)k kββ β2
1α12(β1 2) 12
(D)kβ1 β2
1α1 k2(β1 β2) 2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求
1
ln(1 x)0(2 x)2.
(2)设z f(2x y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求 2z
x y
.
(3)求微分方程y 4y 4y e 2x的通解(一般解).
四、(本题满分6分)
求幂级数
(2n 1)x
n
的收敛域,并求其和函数.
n 0
五、(本题满分8分) 求曲面积分
I yzdzdx 2dxdy
S
其中S是球面x2 y2 z2
4外侧在z 0的部分.
六、（本题满分7分）
设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a) f(b).证明在(a,b)内至少存在一点 ,使得f ( ) 0.
