九公里浅绿全国硕士研究生入学统一考试数学(一)历年真题(1987-2010)
1991年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设
x 1 t2
d2y
y cost
,则dx2
=_____________.
(2)由方程xyz 所确定的函数z z(x,y)在点(1,0, 1)处的全微分dz
=_____________.
(3)已知两条直线的方程是lx 11 y 21:0 z 3 1;lx 2y 1z
2:2 1 1
.则过l1且平行于l2的平面方程是_____________.
1(4)已知当x 0时,(1 ax2)3
1与cosx 1是等价无穷小,则常数a=_____________.
5
200 (5)设4阶方阵A
2
10
0 001 2
,则A的逆阵A 1=_____________.
0
011
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
2
(1)曲线y
1 e x1 e
x2
(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线
(C)仅有铅直渐近线
(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线
(2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)
2
f(t
2
)dt ln2,则f(x)等于 (A)ex
ln2
(B)e
2x
ln2
(C)ex
ln2
(D)e2x
ln2
( 1)
n 1
(3)已知级数an 2,等于
n 1
a2n 1 5,则级数n 1
ann 1
(A)3
(B)7
(C)8
(D)9
全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）历年真题
(4)设D是平面xoy上以(1,1)、( 1,1)和( 1, 1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则
(xy cosxsiny)dxdy等于
D
(A)2
cosxsinydxdy
(B)2
D xydxdy
1D1
(C)4
(xy cosxsiny)dxdy
(D)0
D1
(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC E,其中E是n阶单位阵,则必有
(A)ACB E
(B)CBA E (C)BAC E
(D)BCA E
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求xlim 0
2. (2)设n 是曲面2x2 3y2 z2
6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u P处沿方向n
的方向导数.
x2
y2
z)dv,其中 是由曲线y2(3) ( 2z
绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z 4
x 0所围城的
立体.
四、(本题满分6分)
过点O(0,0)和A( ,0)的曲线族y asinx(a 0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分
(1 y3
L
)dx (2x y)dy的值最小.
五、(本题满分8分)
将函数f(x) 2 x( 1 x 1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数
1
2
的和.
n 1
n
六、（本题满分7分）
设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3
1
2f(x)dx f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使
3
f (c) 0.
