九公里浅绿全国硕士研究生入学统一考试数学(一)历年真题(1987-2010)
1993年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数F(x)
x
(2 1
dt(x 0)的单调减少区间为_____________.
(2)由曲线
3x2 2y2 12
z 0
绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向
量为_____________.
2
x )的傅里叶级数展开式为a
(3)设函数f(x) x x( 02 (ancosnx bnsinnx),则其中
n 1
系数b3的值为_____________.
(4)设数量场u 则div(gradu)=_____________.
(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n 1,则线性方程组AX 0的通解为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)
sinx
sin(t2)dt,g(x) x3 x4,则当x 0时,f(x)是g(x)的
(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小
(D)低价无穷小
(2)双纽线(x2
y2)2
x2
y2
所围成的区域面积可用定积分表示为
(A)2
4
cos2 d
(B)4
40
cos2 d
(C)2
(D)12 40(cos2 )2
d
(3)设有直线lx 1x y 61 y 5 2
z 8
1:1
与l2:2y z 3则l1与l2的夹角为 (A)
6
(B)
4
全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）历年真题
(C)
3
(D)
2
(4)设曲线积分
L
[f(t) ex
]sinydx f(x)cosydy与路径无关,其中
f(x)具有一阶连续导数,且
f(0) 0,则f(x)等于
(A)e x ex2
(B)ex e x2
ex e x
(C)
2
1
ex e x
(D)12
(5)已知Q 123 24t ,P为三阶非零矩阵,且满足PQ 0,则 369
(A)t 6时P的秩必为1
(B)t 6时P的秩必为2 (C)t 6时P的秩必为1
(D)t 6时P的秩必为2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求lim(sin
2x
cos1)xxx
. (2)求
x.
(3)求微分方程x2
y xy y2
,满足初始条件yx 1
1的特解.
四、(本题满分6分) 计算
2xzdydz yzdzdx z2
dxdy,其中 是由曲面z
与z
面外侧.
五、(本题满分7分)
求级数 ( 1)n(n2 n 1)
的和n 0
2n
.
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)
(1)设在[0, )上函数f(x)有连续导数,且f (x) k 0,f(0) 0,证明f(x)在(0, )内有且仅有
一个零点.
