九公里浅绿全国硕士研究生入学统一考试数学(一)历年真题(1987-2010)
1997年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
3sinx x2
cos
1
(1)lim
x 0(1 cosx)ln(1 x)
=_____________.
(2)设幂级数
an
n 1
nx
的收敛半径为3,则幂级数
n
(x 1)
的收敛区间为_____________.
n 1
nan 1
(3)对数螺线
e
在点( , ) (e2,
2
)处切线的直角坐标方程为_____________.
(4)设A 12 2 4t3 ,B为三阶非零矩阵,且AB O
,则t=_____________.
3 11
(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,
则第二个人取得黄球的概率是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
xy
(1)二元函数f(x,y) x2 y2 (x,y) (0,0)
,在点(0,0)处
0 (x,y) (0,0)
(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在
(D)连续,偏导数不存在
(2)设在区间[a,b]上f(x) 0,f (x) 0,f (x) 0.令
S baf(x)dx,Sa),S1
12 f(b)(b 3 2
[f(a) f(b)](b a),
则
(A)S1 S2 S3 (B)S2 S1 S3 (C)S3 S1 S2
(D)S2 S3 S1
(3)设F(x)
x 2
sintx
esintdt,则F(x)
全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）历年真题
(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不为常数
a1 b1 c1 (4)设α 1 a2,α 2 b2,α3 c2,则三条直线 a3 b3 c3
a1x b1y c1 0,a2x b2y c2 0, a3x b3y c3 0
(其中a2i b2i 0,i 1,2,3)交于一点的充要条件是 (A)α1,α2,α3线性相关
(B)α1,α2,α3线性无关
(C)秩r(α1,α2,α3) 秩r(α1,α2)
(D)α1,α2,α3线性相关,α1,α2线性无关
(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X 2Y的方差是 (A)8 (B)16 (C)28 (D)44
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)计算I (x2
y2
)dv,其中 为平面曲线 y2 2z
绕z轴旋转一周所成的曲面与平面z 8
x 0所
围成的区域.
(2)计算曲线积分
(z y)dx (x z)dy (x y)dz,其中c是曲线x2 y2 1从z轴正向往z轴
c
x y z 2
负向看c的方向是顺时针的.
(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t 0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k 0,求x(t).
四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)
