弹性力学简明教程(第四版)_习题解答(3)

综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。

【2-14】【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。

（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且fx fy 0

x yx y xy

0 0 显然满足 x y y x

（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有

2 2 2q

等式左= 2 2 x y =2 0=右

b x y

应力分量不满足相容方程。

因此，该组应力分量不是图示问题的解答。 【解答】（1）推导公式

在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对中性

h3

轴（Z轴）的惯性矩I ，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程

12q3qx2

M(x) x,F x 。所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：

6l2l

3Fs x 4y2 M x 3qx22x3y

1 2 .3 h 4y2 。 x y 2q3 xy 2bh h 4lhIlh

根据平衡微分方程第二式（体力不计）。

y

3qxyxy3

0得： y . 2q3 A y x2lhlh

y

xy

根据边界条件

y h/2

qx3qxyxy3qx

0得 A .故 y . 2q3 .

2l2lhlh2l

将应力分量代入平衡微分方程（2-2）

第一式：

x2yx2y

左 6q.3 6q3 0 右 满足

lhlh

第二式 自然满足

将应力分量代入相容方程（2-23）

2 2 xyxy

左 2 2 x y 12q.3 12q.3 0 右

y lhlh x

应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。