稀梦中粒子束缚态(0 E U0)的能级.
解：一维Schrödinger方程是
d dx
22
2m
22
E U(x)
2mE
2
0.
在阱内(x a), 有
d dx
22
d dx
2
0, (1)
在阱外(x a), 有 在0 E U0条件下,令 2
2m
2
E U0
2m
2
0, (2)
2mE
2
,
2
U0 E ,得
d dx
22
2
2
0, (x a) (1a)
以上两式的通解是
d dx
2
2
0, (x a) (2a)
1 x A1sin x A2cos x Asin x , (x a) (3)
2 x Be x Ce x (x a). (4) 考虑到x 时波函数有限,应令
x
e (x a), (5) 2 x B
x
e (x a). (6) 3 x C
由(3)式得
1d 1
1dx
ctg
x
. (7)
由(5),(6)两式得
1d 2
2dx
1d 3
, (x a), (8)
由于 ,
d dx
3dx
(x a). (9)
在x a处连续,应有
a ctg, ctg a ,
