ch 8空间解析几何与向量代数(9)

( ax)i ( ay)j ( az)k

( ax ay az)

利用向量的坐标判断两个向量的平行 设a (ax ay az) 0 b (bx by bz) 向量b//a b a 即b//a (bx by bz) (ax ay az) 于是

例2 求解以向量为未知元的线性方程组

其中a (2 1 2) b ( 1 1 2).

解 如同解二元一次线性方程组 可得

x 2a 3b y 3a 5b

以a、b的坐标表示式代入 即得

x 2(2 1 2) 3( 1 1 2) (7 1 10)

y 3(2 1 2) 5( 1 1 2) (11 2 16)

例3 已知两点A(x1 y1 z1)和B(x2 y2 z2)以及实数 1

在直线AB上求一点M 使AM MB

解 由于AM OM OA MB OB OM

因此 OM OA (OB OM)

x xx xx x从而 OM 1(OA OB) ( , , ) bbyb axayaz5x 3y a 3x 2y b 1 1 1 1

这就是点M的坐标

另解 设所求点为M (x y z) 则AM (x x1, y y1, z z1) MB (x2 x, y2 y, z2 z) 依题意有AM MB 即

(x x1 y y1 z z1) (x2 x y2 y z2 z)

(x y z) (x1 y1 z1) (x2 y2 z2) (x y z)

(x, y, z) 1(x1 x2, y1 y2, z1 z2) 1

x x xy yz z y z 1 1 1