安之若素§7 2 数量积 向量积
一、两向量的数量积
数量积的物理背景: 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2 以s表示位移M1M2 由物理学知道 力F所作的功为
W |F| |s| cos
其中 为F与s的夹角
数量积 对于两个向量a和b 它们的模 |a|、|b| 及它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量a和b的数量积 记作a b 即
a·b |a| |b| cos
数量积与投影
由于|b| cos |b|cos(a ^ b) 当a 0时 |b| cos(a ^ b) 是向量
b在向量a的方向上的投影 于是a·b |a| Prj ab
同理 当b 0时 a·b |b| Prj ba
数量积的性质
(1) a·a |a| 2
(2) 对于两个非零向量 a、b 如果 a·b 0 则 a b;
反之 如果a b 则a·b 0
如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a·b 0
数量积的运算律
(1)交换律 a·b b·a;
(2)分配律 (a b) c a c b c
(3) ( a)·b a·( b) (a·b)
( a)·( b) (a·b) 、 为数
(2)的证明
分配律(a b) c a c b c的证明
因为当c 0时 上式显然成立
当c 0时 有
