ch 8空间解析几何与向量代数(16)

提示 a·b |a||b|cos

例2 已知三点M (1 1 1)、A (2 2 1)和B (2 1 2) 求 AMB

解 从M到A的向量记为a 从M到B的向量记为b 则 AMB 就是向量a与b的夹角

a {1 1 0} b {1 0 1}

因为

a b 1 1 1 0 0 1 1

|a| 2 12 02

|b| 2 02 12

所以 cos AMB a b |a||b|1 1 22

从而 AMB3

例3．设液体流过平面S 上面积为A的一个区域 液体在这区域上各点处的流速均为（常

向量 v 设n为垂直于S的单位向量（图7-25(a)） 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为ρ)

解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为| v |的斜柱体(图7-25(b))

这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n的夹角 所以这柱体的高为| v | cos 体积为

A| v | cos A v ·n

从而 单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量为

P Av ·n

二、两向量的向量积

在研究物体转动问题时 不但要考虑这物体所受的力 还要分析这些力所产生的力矩