紫梦★恋星北京市西城区2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试卷
当x 1时，f (x) 0，函数f(x)在区间( ,1)上是增函数； 当x 1时，f (x) 0，函数f(x)在区间(1, )上是减函数； 所以f(x)的最大值为f(1)
5分 6分
1
。 e
7分
故函数f(x)的单调递增区间为( ,1)，单调递减区间为(1, )，最大值为（Ⅱ）由已知x 0。
当0 x 1时，g(x) lnx f(x)，
1。 e
1
g (x) (x 1)e x 0，函数g(x)在区间(0,1)上是减函数；
x
当x 1时，g(x) lnx f(x)，
9分
g (x)
1
(x 1)e x 0，函数g(x)在区间(1, )上是增函数； x
1
m。 e
1e
12分
11分
所以g(x)的最小值为g(1)
若存在实数x0，使得g(x0 0)，则 m 0，解得m 所以m的取值范围为( , )。 22. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）f (x) a
1
。 e
1e
13分
b， x
2分
3分
依题意f(1) 0，且f (1) 0。 所以a 1 0,a b 0。 解得a 1,b 1。
4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x) x lnx 1,x 0。
x2
mlnx m,x 0。 所以g(x) 2mx2 m
g (x) x 。
xx
6分
当m 0时，由g (x)
0得x ，由g (x)
0得0 x
所以g(x
)在区间
上是减函数，在区间
)上是增函数，x 是g(x)的极小
