数学思想在中学解题中的应用4(4)

例1 证明Cauchy 不等式：

n n n

aibj ai bj i 1 i 1 i 1

其中ai,bj(i,j 1,2, ,n) R

n 22

证明：先考虑特殊情况，假设 ai 1, bj 1，则 aibj 1

i 1 i 1i 1

n

n

2

222

1n22

这只需证 aibi 1，实际上， aibj aibj ai bj 1

2i 1i 1i 1i 1

再考虑一般情形，对任意ai,b

j,令

a

'

i

nnn

b

'

j

b显然有 a 1, b'2j 1

'2

ii 1

j 1

nn

n''

（上面的假设起到化归作用），故有 aibj 1

i 1

即

aibj 2 n

n2 n2 1

aibj ai bj . i 1 i 1 i 1 n

2

2.1.2 未知转化为已知

将未知的问题向已知转化, 并找出未知和已知的某种联系, 已达到运用熟悉的知识和方法来解决未知问题的目的.