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图14-21 大直径直立圆柱波力计算坐标系
实际上，具有物理意义的速度势只是上面复数表示式的实部。但在数学上讨论物理现象 时，使用复数推导较为方便。为了使入射波的势与将在下面设定的柱面反射波的势便于叠加，引入极坐标r和?，则式（14-120）化为
?i??gHcoshk(z?d)2?coshkd?[J0(kr)??m?12imcosm? Jm(kr)]ei?t （14-121）
式中，Jm为第一类贝塞尔（Bessel）函数。每一阶的函数Jm(kr)乘上相应的方向余弦和时间因子ei?t都可以看作是一个中心向四周传播的柱面波。因此，式（14-121）坐标变换的结
果意味着将一个具有水平波阵面的简单波动，用无限多个柱面波的和来表示。
当圆柱存在于波动水体中时，由于绕射效应，入射波沿各个方向“入射”到柱面上，由于固体壁面的反射作用，将引起一个沿柱面的法向朝外成发散面反射的柱面波。这个由柱面反射的波在柱面处有一定的幅度，而在无限远处，由于波阵面的不断发散，即使总的波能维持不变，柱面波的波幅亦将趋近于零。
以圆柱为中心的朝外发散的圆柱面波的普遍形式可以表示为
??s??m?0Amcosm?[Jm(kr)?iYm(kr)]ei?t （14-122）
上式中，Ym(kr)是第二类Bessel函数，它代表和Jm(kr)有区别的另一类可能形式的波动。在二元波动问题中，特解Jm(kr)和Ym(kr)的线性组合，便构成二元波动问题解的普遍形式。
将式（14-121）与（14-122）叠加并利用柱表面条件，即
???rr?a?0，定出Am后，便
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可得到受圆柱扰动后波动场的速度势为 ??gH2?ei?t?(kr)J0coshk(d?z)??2J(kr)?H(0)(kr)?0(2)?coshkdH0(ka)???m（14-123）
????????(ka)Jm2 ?2?i?Jm(kr)??Hm(kr)?cosm?(2)?m?1H0(ka)????式中H(2)m(kr)?Jm(kr)?iYm(kr)称为第二类的汉克尔(Hankel)函数，而函数组合
(1)mJm(x)?iYm(x)?H(x)称为第一类汉克尔函数。它们各乘以不同的时间因子ei?t和e?i?t均代表具有上面所述特性的波面阵。
计算作用在圆柱面上的压力可以利用理想流体无旋非恒定运动的Bernoulli方程
??????????p??????????????gz
?t2??x?z?????????122来计算。由于假定是理想液体的无旋运动，因此沿着柱的运动是对称的，上式右边括号内的速度项沿柱周长的积分为零。而右边表示静水压强的第三项同样可以略去。于是可取
p??????t （14-124）
沿z轴单位长度上波力的x分量（简称单位力）为
fx?Re2???0pacos(???)d? （14-125）
?式中符号Re表示对积分的结果取实部。将式（14-123）的速度势代入式（14-124）求得p后即可代入式（14-125）中求积分。注意，仅只含cos?的项对积分起作用，其结果取实部后可写为
fx?2?gHcoshk(z?d)A(ka)cos(?t??)kcoshkd （14-126）
其中
tan??J1?(ka)Y1?(ka) A(ka)?1J1?(ka)?Y1?(ka)22
在上式的推演中，取m?0,1而略去了m?2,3,4?的各项。
由（14-127）式再沿水深作积分，则作用在直立圆柱面上的总波力为
F??0?dfxdz?2?gHk2tanhkd?A(ka)cos(?t??) （14-127）
波力对海底的力矩可通过下式推求：
M??0?d(z?d)fxdz （14-128）
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本章小结
1. 波浪的运动可以采用势流理论描述。流速势所满足的拉普拉斯方程连同底部边界条件、自由表面（运动和动力）边界条件以及周期性条件构成了描述规则波运动的定解问题。
2. 为了对自由表面边界条件的非线性和自由表面本身的不确定性进行简化，引进波高和波长相比为一无限小量的微幅假定，可以得到线性化的微幅波定解条件。
3. 求解微幅波的定解方程，就可以得到关于势函数和波面的解答，进一步得到微幅波的速度、加速度、质点运动轨迹、压力以及波浪能量的表达式。由于水深、周期和波长不是相互独立的，所以它们之间的关系应满足弥散方程。
4. 根据相对水深的不同，可以把波浪划分为深水、中等水深和浅水波，在深水和浅水情况下，波浪运动特性的系列表达式均可化简。
5. 当深水中波陡较大，或在浅水中相对波高较大时，微幅波理论的适用性受到限制，需要采用其他波浪理论来描述波浪。其中斯托克斯波浪理论适用于水深较大，波陡较大的情况。二阶斯托克斯波剖面、速度等与微幅波理论有较明显的不同，其水质点轨迹也不再封闭。
6. 海岸和近海建筑物波浪荷载的计算可以分为三种类型，其中直墙上的波浪力在一定范围内可采用森弗鲁有限振幅立波理论计算。森弗鲁有限振幅立波理论从拉格朗日观点出发描述波动而得到直墙上水质点在运动过程中的压力，需要通过转换求得欧拉方法下波峰和波谷时的压强分布。在工程应用中，进一步可采用森弗鲁方法的简化公式计算直墙上波浪力。
7. 小直径桩柱上的波浪力可采用莫里森方程进行计算，莫里森方程不考虑建筑物存在对波浪场的影响，将波浪力分为拖曳力和惯性力两部分计算，虽然在理论处理上不够十分严格，但目前仍是工程中应用最广泛的计算方法。
8. 大直径墩柱上的波浪力计算需要采用绕射理论进行，其基本思路为求得入射波势和散射波势，叠加后得到总的波浪势函数，再根据伯努利方程求得墩柱表面的压力分布和波浪力。
思考题
14.1 试说明波数k与圆频率?的物理意义。二者与波要素有什么关系？
14.2 波浪运动满足什么底部边界条件？运动和动力边界条件的物理意义是什么？如何采用数学表达式描述运动边界条件？
14.3 深水、中等水深和浅水波是如何分类的？ 14.4 试推导深水与浅水波的弥散方程。
14.5 试比较二阶斯托克斯波理论与微幅波理论的不同。
14.6 根据拉格朗日方法得到的有限振幅立波水质点的压强，为什么可以用来计算以欧拉法研究直立墙面上各点处承受的压强？
14.7 小尺度桩柱上的波浪力分为哪几部分，分别根据什么原理估算，其缺陷是什么？ 14.8 试述求解墩柱上波浪力的思路。
习 题
14.1 微幅波的势函数为
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??gHcoshk(z?d)2?coshkdsin(kx??t)
试证明上式也可写为
??Hccoshk(z?d)2sinhkdsin(kx??t)
14.2 某深海海面上观察到浮标在1分钟内上下20次，求波浪周期、波长和波速。 14.3 已知波浪周期T，编制一计算任意水深d处的波长和波速的程序，并计算出周期为8s、水深为20m处的波浪波长和波速。
14.4 在某水深处的海底设置压力式波高仪，测得周期T?5s，最大压力pmax?85250Pa（包括静水压力，不包括大气压力），最小压力pmin?76250Pa，问当地水深、波高是多少？
14.5 d?10m的有限水深海域，H?2m，L?40m，试分别采用微幅波理论和二阶斯托克斯波理论求（如果存在）：（1）波浪传播速度c，周期T；（2）水面上水质点运动轨迹的椭圆长、短半轴值；（3）波浪中线超高hs0；（4）水面及海底上水质点的最大速度；（5）海底面上任意点的压强；（6）单位宽度水体在一个波长范围内的总能量
14.6 有一直立式防波堤，位于水深d?10m处，防波堤高15m，底宽b?10m。波高为3m，周期为8s的波浪向此防波堤入射。（1）试按照森弗鲁公式简化方法画出直立堤上出现波峰和波谷时的压力分布图，并计算直立堤每延米长度上的总波力和倾覆力矩。（2）如果堤高只有12m，则波浪将越过堤顶。假设有越浪时直立堤面上的波压分布与无越浪时相同，试求总波力和倾覆力矩。
14.7 一桩基平台，平台支撑结构由四根直径D?6.0m的圆桩柱组成，桩与桩间距均为30m。平台设计工作水深d?40.0m，设计波高H?10.0m，波周期T?10.4s，试确定每根桩柱所受最大水平波力和作用点位置，以及四根桩柱最大水平合波力和合波力矩。
参考文献
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