§14.4 圆锥曲线的应用

§14.4 圆锥曲线的应用

预备知识

直线的相关知识

圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等

重 点

难 点

学习要求

直线与圆锥曲线的相交 圆锥曲线的相交 平面曲线与圆锥曲线相交问题的解决办法

发现实际问题中圆锥曲线的应用，并能用圆锥曲线的知识予以解决

能解决有关平面曲线与圆锥曲线关系的简单问题 注意利用图形分析问题并将“形”与“数”结合起来

了解圆锥曲线在实际问题中的应用，并能解决其在实际中的

简单应用问题

能综合运用数学知识，将实际问题转化为数学问题

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圆锥曲线在数学、天文、光学、建筑以及实际生活的各个领域，有非常广泛的应用．本节将对这些应用作一个初步的介绍，范围涉及直线和圆锥曲线的综合问题及一些简单的实际应用．

1. 直线和圆锥曲线相交问题

x2y2例1 如图14-15，椭圆??1的焦点分别是F1和F2，过中心O作

4520直线与椭圆相交于A、B两点，若?ABF2的面积是20，求直线AB的方程．

分析 设A(x1，y1)， B(x2，y2)，则有

1 S?ABF?S?AOF?S?BOF=(|y1|+|y2|)OF2．

2222 又OF2=半焦距，所以只需求出y1、y2．又因为交点A、B的坐标取决于直线AB的斜率k，因此由上式中y1、y2与k之间的关系可求得k．

解 由椭圆方程可知，a2=45， b2=20，c2=a2-b2=25．所以

OF2=c=5．

设直线AB的斜率为k，则AB的直线方程为y=kx．设点A、B的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．

? F2 B 图14-15

4 2 y A x O 2 4 6 ? F1 x2y2 ??1； 从联立方程组 45 20 中消去x，得 y=kx

(9k2+4)y2＝180k2，

解出 |y1|=|y2|=|180k2|4?9k2?65k4?9k2．

又S?ABF2?S?AOF2?S?BOF2=

1(|y1|+|y2|)OF2=20，即 25?65|k|=20，

4?9k2解得 k=?

所以所求的直线方程为y=?

4． 34x． 3 63

例2 已知等轴双曲线x2-y2=4和直线l： y=k(x-1)． (1) 当k取何值时，直线l与双曲线有两个公共点？ (2) 当k取何值时，直线l与双曲线有且仅有一个公共点？ (3) 当k取何值时，直线l与双曲线没有公共点？

x2-y2=4，

解的分析 直线与双曲线的公共点的个数取决于联立方程

y=k(x-1)

个数．

解 将y=k(x-1)代入x2-y2=4，得

1-k2)x2+2k2x-k2-4=0． (＊)

当1-k2=0，即k=?1时，方程(＊)可化为2x-5=0，此时方程只有一个实数解．

当1-k2?0，即k??1时，(＊) 的判别式

?=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2)．

4-3k2>0，

2323当 2 即-

1-k?0， 33同的实数解；

4-3k2=0， 23当 即k=?时，方程(＊) 有两个相同的实数解;

231-k?0， 4-3k2<0，

2323当 2 即k<-或k>时，方程(＊)无实数解．

1-k?0， 332323

32323 (3)当k<-或k>时，直线与双曲线没有公共点． 33

注意 双曲线的渐近线是y=?x，所以情况(2)还可以细分为两种情况：

综上，(1)当-当k=?1，l平行于渐近线，l与双曲线相交于一点；当k=?双曲线相切于一点(如图14-16)．

从上面两例可见，求直线与圆锥曲线的交点，就是要求由一个二元二次方程和一个二元一次方程联立的方程组的解．若有两解，则直线与圆锥曲线相交．若有一解，则在椭圆情况，直线必定与之相切；在双曲线或抛物线情况，则可能相交，也可能相切．若无解，则直线与圆锥曲线相离．

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y ? x 23时，l与3图14-16

课内练习1

1．直线y=kx+1 (k>0)与椭圆x2?求k．

2. 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围．

2. 圆锥曲线相交

圆锥曲线相交，一般要涉及解两个二元二次方程组的问题，因此目前只能解决一些较特殊的情况．

例4 14-17)，

(1) 求b；

(2) 如果P是两条曲线的交点，且F1为椭圆的另一个焦点，求?PF1F2

的面积．

解 (1)由抛物线方程可知，其与椭圆的公共焦点坐标为F2(1，0)，所以

b2=9-1=8，b=22．

? F2 O 1 3 2 6y2B两点，|AB|=2，?1相交于A、

52已知抛物线y2=4x和椭圆方程为

x2y2??1有共同焦点F2(如图9by P ? x ? F1 P1 2 3 x2y2所以椭圆方程为??1．

98(2)过点P作PM⊥x轴，垂足为M，点P坐标为(x，y)满足方程组

图14-17

x2y2 ??1，

98 y2=4x，

消去y，得2x2+9x-18=0，解得x1=

3， x2=-6(舍去)． 2代回方程组可得y=±6，从而|PM|=6．

S?PF1F2=1|F1F2||PM|=1?2?6=6．

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课内练习2

1．已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴负半轴上，与椭圆x2y24?3?1有

相同的焦点，求抛物线和椭圆的交点坐标．

2．已知椭圆x22?y2?1及点B(0，-2)，过椭圆的左焦点F1与B的直线

交椭圆于C、D两点，椭圆的右焦点为F2，求?CDF2的面积．

3．简单实际应用

圆锥曲线在生活和生产实际中也有很多应用，下面举一些简单的实例． (1)抛物线光学性质的应用

能反射光线的镜面的纵剖面是一条抛物线，它有一个特性：从置放在抛物线焦点的点光源发出的光线，经抛物线反射后的光线都是平行的；反之，入射的平行光线经抛物线反射后的光线都经过焦点(如图14-18)．这种性质在光学上叫做聚焦性质．抛物线的这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等的反射镜面，像碗碟一样卫星通讯接收或发射天线以及太阳能热水器等，都是利用这个聚能特性设计的．

例5 某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图14-19(1)，其中F为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线的设计尺寸如图14-19(2) (单位cm)．为了达到最佳加热效果，F应距碟底多少？(精确到0.1cm) F y 5 85 x O 40

图14-19(1)

图14-19(2) 解 以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为x轴，开口方向为x轴的正向，建立坐标系如图14-19(2)，则内壁抛物线方程为y2=2px．

据所示尺寸，抛物线过坐标为(40，85)的点，所以 852=2p?40=80p，p?90.3．

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? 图14-18