暖了懵意???sinhkd? （14-72）
sinhk(z0?d)??Hcoskx0cos?t??sinhkd????Hcoshk(z0?d)sinkx0cos?t由上式消去cos?t得轨迹方程为
????tanhk(z0?d)ctgkx0 （14-73）
因此，水质点在波腹处作垂直振荡，在结点处作水平振荡，在一般位置处沿倾斜直线振荡。 根据微幅立波理论，作用在直墙上的波压力分布为
p???gz??gHcoshk(z?d)coshkdcos?t （14-74）
与行进波相同，静水面以上的波压力也需要通过泰勒展开计算得到
p??g(Hcos?t?z) (0?z?Hcos?t) （14-75）
14.4.2森弗鲁(Sainflou)有限振幅立波理论
关于有限水深有限振幅立波的研究，已有相当长的历史了。但是迄今为止，还没有得出一个适用于任何情况并与实际完全符合的解析解。在筑堤工程中，森弗鲁(1928)的方法曾得到了广泛的应用。其原因是，此法从水流运动的基本方程式（采用拉格朗日研究方法）出发，推导得到了立波对于直墙作用问题的理论解答。一系列自然界中和实验室内的观察证明，按照森弗鲁理论所得出的立波波动性质和波压力计算结果和实测结果在有些范围内，如相对水深dL在0.135~0.20、波陡HL?0.035时，是非常相近的，特别是在立波波动性质方面更是如此。因此森弗鲁理论仍有介绍的必要。
1. 拉格朗日形式的液体连续性方程和理想液体的运动方程
森弗鲁立波理论采用拉格朗日方法研究波浪，下面不做推导给出二维拉格朗日形式的液体连续性方程和理想液体的运动方程。取z轴向下为正，连续性方程和运动方程分别为
???x?z?z?x?????0 （14-76）
?t??a?c?a?c??z?z???2?(g?)?2??a?t?a?t?a?? （14-77） 221?p?x?x?z?z???2?(g?)2??c?t?c?t?c??1?p?x?x22式中，(x,z)为某质点运动轨迹，(a,c)为标识该质点的拉格朗日变数。
2. 森弗鲁立波水质点运动方程式
设原始行进波为有限水深为d，有限振幅为H2的椭圆摆线波，这个波连续并正交地作
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用到一直墙式建筑物上，由于波浪反射的作用，形成一列列波浪要素相同而波速方向相反的反射波，原始行进波与反射波相叠加就形成了有限振幅的立波。椭圆摆线波理论从流体运动的拉格朗日观点出发，假定水质点围绕其振动中心做椭圆运动。森弗鲁理论同样从拉格朗日观点出发，采用如图14-10所示的坐标，并规定Lagrange变数(a, c)标记质点在静止时的位置，则森弗鲁立波质点运动的方程式可表示为
图14-10 森弗鲁立波坐标示意图
x?a?2?sin?tcoska??? （14-78） 4???2z?c?sin?t?2?sin?tsinka?L?式中
??Hcoshk(d?c)???2sinhkd? （14-79）
Hsinhk(d?c)????2sinhkd? 水质点振动中心相对于其静止位置的最大超高为
hs?4???Lsin?t （14-80）
2在水面处，有???0?H2。当sin?t时，可得水质点最大超高为
hs0?4??0(H2)L??HL2cothkd （14-81）
上式即立波的超高。
下面属于原始行进波的一些关系式在此仍然适用，如
?2?gktanhkd k?2?L ??2?T
即立波的波长L与周期T均与原始行进波的相同。
在直立墙上，质点只作垂直振动，不论何时，x总是等于a，则可设直立墙位于
4??a?L4, sinka?1。于是墙上表面水质点（c?0）的位移为
z??2?0sin?t?0?0Lsin2?t （14-82）
由上式知，当t?T4时，sin?t?1，z有最大值
１１６
zmax??2?0?4??0?0L
当t?3T4时，sin?t??1，z有最小值
zmin?2?0?4??0?0L
因此，Sainflou立波最大波高=zmax?zmin ?4?0，为原始行进波的二倍。
3. 波浪曲线及质点轨迹方程式
由质点运动方程式组中消去参变数a即可得在任一深度c的立波曲线方程式为
z?c?2?sin?tsinkx?4???Lsin2?tcos2kx （14-83）
由质点运动方程式中消去参变数t，即得质点运动的轨迹方程式为
2?k?coska[z?(c?2?2ka2sinka)]?[x?(a?12k212ksin2ka)]?0 （14-84）
22令A?2?k?cos2ka，B?c??2kasinka，C?a?sin2ka，则式（14-82）变为
z??1Ax2?2CAx?AB?CA2 （14-85）
由式（14-85）可以看出，立波质点运动的轨迹线为具有垂直轴的抛物线线段，并凹向上 方。图14-11显示了立波表面在t?0、T/12、T/4、3T/4、5T/6及11T/12各时间的位置图和d、1、2、3、4、5、6共七个质点的振动轨迹（图中虚点线）。由图可见，直立墙上质点只作垂直运动，水底质点只作水平振动。图中所绘为一半波长的立波在不同时间时波浪表面的变化情形及质点运动情况，计算条件为：L=80m，原始行进波波高H=6.67m，水深d=10m。
图14-11 立波表面在不同相位时位置和水质点运动轨迹
１１７
4. 直墙前立波最大底流速的确定
根据质点运动方程式（14-78），质点水平速度分量为
ux?dxdt?2??cos?tcoska （14-86）
由上式看出，当a?0,?L2,?L,?时，即位于离直墙前
L4，
3L4? 距离的波浪节点，
coska值最大(coska?1)。则在这些节点的水底（c?d）质点的水平速度分量为
uH?2??cos?t?Hsinhkdkgtanhkdcos?t （14-87）
当cos?t?1时，uH最大，则最大底速为
uH(max)?Hsinhkdkgsinhkdcoshkd?2?H?g （14-88）
Lsinh2kd 立波最大底流速较行进波的大一倍，它决定了堤前底部会否发生冲刷，设计时应加以考
虑。堤前护底块石的重量应根据底流速的大小来选定，根据部分设计经验，各种护底及块石的允许底流速参见表14-4。
表14-4 堤前护底及块石允许底流速
护底 允许底流速（m/s） 沙质海底 1.0~1.5 抛石基础 2~4.5 400kN石块 2~2.5 700kN石块 3.0~3.5 1400kN石块 4.0~5.0
5. 波压强分布
对式（14-78）求相应的偏导数，代入运动方程式（14-77），在整理简化的过程中，略去
含有k(?22??2)与 k(??32)的各项，最后得到立波压强分布公式如下
?coshk(d?c)sinhk(d?c)?? （14-89） ??coshkdsinhkd??p?p0??c?Hsin?tsinka 工程设计中，经常要求计算的是波浪作用在直墙面上的最大和最小波压力。在直墙面上（相当于波腹处），由式（14-78）可知，在该处coska=0，sinka?1，因此得到直墙上的压强分布公式为
p?p0?coshk(d?c)sinhk(d?c)??c?H???sin?t （14-90） coshkdsinhkd??? 当墙前出现最大波峰和波谷时，即当t?T4及t?3T4时，sin?t??1，上式化为
p?p0?coshk(d?c)sinhk(d?c)??c?H??? （14-91） coshkdsinhkd???由（14-91）可以确定任一质点(c)在一周期内的最大和最小的极限压强p。
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在水底处，c?d，式（14-91）成为
p?p0?d?f? f??Hcoshkd? （14-92）
可用此式确定在水底处的最大和最小的极限压强。
根据式（14-91）即可绘出墙前出现最大波峰和波谷时的波压强分布图，如图14-12所示。
P1HN波高中线0hs0AH静水压强分布p0静水面Q1c最大极限压强分布曲线P2 βcP''NMQhs2 βQ'Q''Q0f'Ef'P0最小极限压强分布曲线(立波作用于垂直岸壁上的最大和最小的极限压强分布图)图14-12 直立墙前波压强分布
4置，P点及Q点为质点Nb振动的上下限位置。PP?及QQ?系根据公式（14-91）计算所得结
在图14-12中，hs0??HL2cothkd，hs????。图中M点为任一质点Nb的静止位
果而绘出，即使
?coshk(d?c)sinhk(d?c)?P?P???Q?Q???H??? coshkdsinhkd??于是可定出P?及Q?两点，即最大及最小波压强曲线上的点。用此法可求得整个曲线P1P0和
Q1Q0。有了波压强分布图，即可对立波作用于直墙上的波压力进行计算。
14.4.3 森弗鲁立波理论的讨论
关于有限水深立波，除森弗鲁理论外，Miche（1944）、Biesel（1952）、库兹聂佐夫、Rundgren（1958）等人提出了一些二阶近似解。Penny和Price（1952）对深水有限振幅的立波进行了详尽的研究，得到了五阶近似的理论解。Tadjbakhsh和Keller（1960）计算了有限水深立波的三阶近似解，合田良实（1967）得到了有限水深立波的四阶近似解。另外，我国洪广文（1980）、邱大洪（1985，1997）等也进行了这方面的工作，蔡清标等（1992）提出了数值
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