暖了懵意显然，波形的传播速度c和波数及圆频率间有如下的关系
c?LT??k （14-14）
公式(14-11)的右边采用正弦，也能体现上述的波动性质，只是将波形移动一个相角?2罢了。
式中?t前面采用正号或负号分别表示波浪沿正x方向或负x方向传播。例如，设图14-3中实线代表时刻t的波形，经过时段?t后，波形沿正x方向传播一距离到达图中虚线所示的位置，原t时刻的某一波面高度?1应该在右方距离为?x?c?t处出现，当?t前采用负号时，即有
?1?acos?k(x??x)??(t??t)??acos[kx??t?k?k?t???t]?acos(kx??t)
若式 (14-11) 中的?t前取正号，则相应于t时刻的一点处的波面高度?1，在时刻t??t时，应在x??x处出现，即取正号表示波面沿负x方向传播。
因此，简单波动的表达式使用正弦或余弦，使用正号或负号，所得的波形并不受到影响，
只是波动的起始位置和传播方向不同而已。 14.2.2 速度势的建立
因为所设定的波面方程??acos?kx??t?应满足自由表面的边界条件
???1???? ??g??z?z???0因而得
??ga?sin(kx??t) （14-15）
此式为z??以及波动振幅为a的特定情况下势函数?的表达式。一般情况下，波动的振幅沿着水深而衰减。因此，可以将一般情况下的?(x,z,t)的函数关系表示如下
??F(z)sin(kx??t) （14-16）
式中，F(z)为纵坐标z的函数，它应体现波动随水深变弱的关系。 将式（14-16）对x和z分别取二次导数得
???x22??kF(z)sin(kx??t)
2???z22?F??(z)sin(kx??t)
代入Laplace方程（14-1），则得
?kF(z)sin(kx??t)?F??(z)sin(kx??t)?0
2一般情况下，sin(kx??t)不为零，因此得
１００
F??(z)?kF(z)?0
2此常微分方程式的通解为
F(z)?C1ekz?C2e?kz
式中，C1及C2为积分常数，将上式代入式（14-16）得
??(C1ekz?C2e?kz)sin(kx??t) （14-17）
积分常数C1及C2的值，可从边界条件来确定。 据边界条件式（14-2），当z??d时，有
????uz???0 ??z??z??d 将式（14-17）对z取导数，并利用上面的边界条件，则有
?????kdkd?k?C1e?C2e?sin(kx??t)?0 ????z?z??d因为sin(kx??t)一般不为零，于是有
C1e?kd?C2ekd?0
故
C2?C1e?2kd
式（14-17）可改写为
??C1e?kd?e?k(z?d)?e?k(z?d)?sin(kx??t) ?由
coshk(z?d)?1?e2?k(z?d)?e?k(z?d)? ?同时令C??2C1e?kd，就得到
??C?coshk(z?d)sin(kx??t)
式中C?可用自由表面边界条件来定出，在自由表面上
?z?0?C?coshkdsin(kx??t)
和式（14-15）所表示的自由表面的?函数相比较，便定出
C??ga1?coshkd
这样便得到，有限水深时微幅波势函数的表达式为
１０１
??gacoshk(z?d)?coshkdsin(kx??t) 或 ??gHcoshk(z?d)2?coshkdsin(kx??t) （14-18）
14.2.3 波的传播速度
波速等于波长除以周期，即c?LT，或按式(14-14)
c?LT??k
因此，为了求得波速c，可从分析常数k和?的关系入手。根据（14-8）式
1?????????? ???2??zg?t??z?0??z?02将式（14-18）进行微分，得
???t22???gacoshk(z?d)coshkdsin(kx??t)
???z?kgasinhk(z?d)?coshkdsin(kx??t)
在上面的式子中，令z?0，再将结果代入自由表面条件式（14-8），即
?????????g?0 ???2???z?z?0??t?z?02则得
??gacoshkdcoshkdsin(kx??t)?kgasinhkd2?coshkdsin(kx??t)?0
故
?2?kgtanhkd （14-19）
式（14-19）称为弥散关系。根据c?L/T可以得到与（14-19）等价的波速和波长表达式
gkgL2?gT2?2c?tanhkd?tanh2?dL2?dL?gT2?tanhkd （14-20）
L?tanh （14-21）
由（14-20）式可知，不同周期（波长）的波在传播过程中由于波速不同将逐渐分散开来，这种现象称为波浪的弥散现象，因此上述方程被称为波浪弥散（色散）方程。
式（14-19）~（14-21）均为超越方程，需要通过数值方法如牛顿迭代法才能获得精确解。在工程应用中，Fenton和Mckee（1990）提出了以下简化显式计算公式
3?2?d?4L?L0tanh?? （14-22）
?L0?32其中L0?gT
22?为深水波长。式（14-22）与数值计算得到的波长相比，误差在1.7%以下。
１０２
微幅波理论的解答中涉及到不少双曲函数，在双曲函数表达式中，当kd很大或很小时，有如表14-1所示近似关系。
表14-1 双曲函数的近似 函数 sinhkd kd??1 kd kd??1 eekd/2 /2 coshkd tanhkd 1 kd kd1 由以上近似关系，根据kd或相对水深dL的值对波浪进行分类，在深水和浅水条件下，波浪的弥散关系分别可以有近似表达式，如表14-2所示。
表14-2 波浪的分类
相对水深 1/2?d/L 1/20?d/L?1/2 d/L?1/20 波浪分类 深水波 中等水深波 浅水波（长波） cs?c0?近似弥散关系 gL02??gT2?，L0?gT22? 无 gd，Ls?Tgd 由表14-2中弥散关系的深水和浅水近似可知，在深水情况下，波长和波速只与波周期有关，而与水深无关；在浅水情况下，波速变化只与水深有关，与波周期或波长无关。在深水和浅水条件下，微幅波的势函数分别可近似为
?0??s?gH2?gH2?ekzsin(kx??t) （14-23）
sin(kx??t) （14-24）
14.2.4 水质点运动的速度和加速度
根据流速势的性质，很容易求得波动水体任意空间点上的水质点速度和加速度。速度分量为
????x?coshkd? （14-25）
??gaksinhk(z?d)uz??sin(kx??t)???z?coshkd?ux??cos(kx??t)??gakcoshk(z?d) 当考虑c?LT?gT2?tanhkd时，有
???Tsinhkd?
?Hsinhk(z?d)uz?sin(kx??t)??Tsinhkd?ux?cos(kx??t)?Hcoshk(z?d) （14-26）
加速度分量可近似为：
１０３
?sin(kx??t)?2??tTsinhkd? （14-27） 2?uz2?Hsinhk(z?d)az???cos(kx??t)?2??tTsinhkd?ax??2?Hcoshk(z?d)?ux2 对于深水波的情况（d/L?1/2），有
ux0?gakeekz
uz0??gakcos(kx??t)?sin(kx??t)??HTeekzkz?HTkz????? （14-28）
sin(kx??t)???cos(kx??t) 当水深极浅（d/L?1/20）时
uxs?uzs??2d?? （14-29）
?H?z???1???sin(kx??t)?T?d??cos(kx??t)Hc14.2.5 质点的轨迹方程
要求得质点的轨迹方程，必须对式（14-25）在时段0～t之间进行积分。但式（14-25）中x、z为时间t的函数，积分较困难，故作如下近似假定。设波动场内某水质点，静止时位于(x0,z0)，也即其平均位置为(x0,z0)。在运动的任一瞬间，此水质点位于
x?x0??, z?z0??处，?, ?就是质点离开平均位置的位移。注意运动过程中质点实际位
置在(x0??,z0??)，该点与(x0,z0)并不重合，速度因而也有差别。由于我们假设波动为微幅波，波高和质点的速度均为相当小，可令(x0??,z0??)的速度近似等于(x0,z0)点的速度，因此有
d?dtd?dt?ux????xx?x0,z?z0
?uz????zx?x0,z?z0
积分上两式得
ux(x0,z0,t)???sin(kx0??t)??0? （14-30） t?(t)??uz(x0,z0,t)??cos(kx0??t)?0??(t)??t其中
??acoshk(z0?d)sinhkd, ??asinhk(z0?d)sinhkd （14-31）
由（14-30）消去t可得水质点运动轨迹方程为
??22???22?1 （14-32）
上式表示长半轴为?、短半轴为?的椭圆。因此，水质点围绕其平衡位置作椭圆运动。从式
１０４
