暖了懵意（14-31）可以看到，椭圆的水平半轴?和垂直半轴?决定于质点开始运动时的纵坐标z0而与水平坐标x0无关。
对于自由表面上的质点，z0?0，因而有
??acothkd???a, 即振幅?? （14-33）
在水底处，z0??d，因此
??a/sinhkd???0?? （14-34）
因此，在自由表面上的质点，椭圆的垂直半径等于振幅（波高之半）；而在水底的质点，沿水底只作水平运动。
在深水情况下(d/L?1/2)，由（14-31）式得
??Hee2ekdkz0kd?H2ekz0?? （14-35）
式（14-35）表明水质点轨迹为圆，自由表面上轨迹圆半径为a，且圆的半径随深度向下呈指数衰减。质点运动的起始位置在水面下愈深，则其轨迹圆的半径亦愈小，在深度为一个波长的地方，质点的轨迹圆半径已减小到仅为水面质点半径的1/535。当水深为一半波长时，轨迹半径为振幅的1/23，也可以认为水质点基本上是不动了，因而常将dL?1/2作为无限水深波动和有限水深波动的分界。 在浅水情况下（dL?1/20）
????acoshk(z0?d)sinhkdasinhk(z0?d)sinhkd?akd?aT2?z0d)g??d?? （14-36） ????a(1??与位移无关，不同水深处长轴均相等。
根据以上讨论可知，相对水深对波浪运动有很大影响，图14-4分别显示了深水、中等水深和浅水情况下水质点运动轨迹。
z=L/2
(c) 浅水) b中等水深 （c(a) 深水 (b （a）深水 （）中等水深）浅水
图14-4 微幅波在深水、中等水深和浅水中的水质点运动轨迹
１０５
14.2.6 波压力分布
波动水体内任一点所受的压力z由三部分组成。第一部分为自由表面上的压力p0，一般
为大气压力p0?pa；考虑相对压力时，则pa?0。第二部分为静水压力，它等于??gz（负号是由于纵坐标z在静水面以下为负）。第三部分为波动引起的压力变化，称为净波压力。当波浪的流速势为已知时，波浪中任一点处的压力可以通过伯努利方程求得：
p???gz?????t?12?u
2 由上式可知，净波压力包括两项，一项起因于波形通过该点，一项是由于水质点在该点
的动能所引起。可以证明，由于当地动能引起的压力与波形压力相比可以略去，于是波动压力可以近似为
p???gz?????t???gz??gHcoshk(z?d)2coshkdcos(kx??t) （14-37）
即
p??g(Kp??z) （14-38）
其中Kp?coshk(z?d)coshkd为压力响应因子。
注意式（14-38）仅适用于静水面z?0以下，静水面以上的波压力需要通过泰勒展开计算得到：
p??g(??z) (0?z??) （14-39）
由此可以得到任意水深情况下波动压力分布如图14-5a所示。 对于无限水深
Kp?e （14-40）
kz对于极浅水
Kp?1 （14-41）
图14-5b绘出了不同水深条件下的净波压力分布。
图14-5a 行进波波压力分布示意图
１０６
cccddda) dL?120b) 120?dL?12c) dL?12图14-5b 行进波净波压力分布示意图
14.2.7 波能量
波浪中的水质点以一定的速度作振荡运动，同时，水质点的位置相对于它的轨迹中心不断地发生变化，因此，波动的能量可分为动能和势能两部分。
分析波能量，不仅是研究海浪的主要途径之一，也是解决某些工程应用问题的重要方法。例如，近岸泥沙的运动，除了通过水质点的速度和作用力分析外，将泥沙运动和波能量联系起来是有效的手段之一。此外，如何利用海浪所蕴藏的大量能量，是人类解决能源问题的重要课题之一。
1. 波浪的势能
在波动水体内取宽度为dx的水柱（y方向的厚度为1）如图14-6所示。水柱的上界为
波面，下界伸至水底或波动作用可忽略之深处（无限水深时）。水柱内所有水质点在波动过程中相对于其平衡位置不断地发生变化，从而它们的势能不断地变化。但位置在波谷以下各质点作为一个整体相对于其平衡位置没有位置变化。所以只要考虑处于z??a带形区域之间水体的势能变化就可以了。以z??a的水平线作为计算势能的参考线，则由于波动所产生的势能为
dEpaa???a????a???g(??a)dx???gadx??gdx??gdx ???2222????22上式中第一项为运动时的势能，第二项为静止时的势能。在一个波长范围内的总势能为
图14-6 波能分析示意图
１０７
Ep??dEp??L0?g2(a?2a???)dx?22?L0?ga22dx
将波面方程式（14-11）代入上式得
Ep??L0?gacos(kx??t)dx?22?L012?gacos(kx??t)dx222 ??ga ??ga??L0L0cos(kx??t)dx?cos(kx??t)dx?1214?ga?ga??1L0L0?11??cos2(kx??t)dx?22???dx?12
22?ga2?L012cos2(kx??t)dx上式右侧第一项和第三项的积分为零，故在一个波长范围内的总势能为
Ep?14?gaL?216?gHL （14-42）
22. 波浪的动能
在图14-6水柱中某一深度z处取一高度为dz的微元体，微元体的质量为??dx?dz?1，
22其速度为ux?uz，于是此微元体的动能为
dEk?12?dxdz?ux?uz22??12??ux?uz?dxdz
22 因为所考虑的是微幅波，忽略高阶量后可以近似取上界面高度??0，下界面可取在
z??d或z???之处。因此，在一个波长之内的总动能为
Ek?12??L0?0?d?ux?uz?dxdz 或 Ek?22L00??22kz12??L0??u??02x?uz?dxdz
2 以深水波为例，将速度表示式代入上式，并引入关系式(14-28)，积分后得到
Ek?12???agkedxdz?14?gaL?2116?gHL （14-43）
2 由此可见，微幅波中，在一个波长的范围内单位宽度波动水体的势能和动能相等，总能
18量为
E?Ep?Ek??gHL （14-44）
2 一个波长范围内，单位宽度波动水体的平均总波能为
E?EL?18?gH （14-45）
22
上式表明微幅波单位宽度波动水体平均总波能与波高的平方成正比，其单位为焦/米（J/m2）。
14.3 斯托克斯（Stokes）有限振幅波理论
以上较为详细地讨论了波高和波长（或水深）相比为无限小的微幅波理论，说明了波动的一些基本概念和实际波动现象。实验资料表明：若波高微小，波陡（HL）和相对波高
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（Hd）相当小时，上面的分析结果与实际情况是相近的。若波高较为显著，例如在深水中波陡较大，或在浅水中相对波高较大时，微幅波理论便不再适合描述实际波动特性。 本节将去掉波高为无限小的假定，转而讨论有限振幅的波动。有限振幅的波浪运动曾被广泛地研究过，斯托克斯（Stokes）波是最常遇到的一种有限振幅的波浪运动。斯托克斯（1847）根据势波理论在推导中考虑了波陡的影响，证明波面将不再为简单的余弦形式，而是呈波峰较窄而波谷较宽的形状（图14-7b），这和海洋中实际余波的波面颇为相近。此外，水质点不是简单地沿着封闭的轨道运动，而是在沿着波浪传播方向上有一微小纯位移的近似于圆或椭圆的轨道上的运动。波浪运动中伴随有“质量输移”的这一情况，也是符合于波浪运动的实际现象的。
斯托克斯波浪理论的适用范围，原则上从微幅波直至由于波陡过大而破碎的波浪。但是在浅水中的波浪，相对波高（Hd）可能发展成为决定波动性质的主要因素，而斯托克斯波理论不能确切地描绘浅水波浪的一些特殊现象。一种称为椭圆余弦波的波浪理论，能在较大的范围内，将波陡和相对波高的影响反映出来。图14-7c所示是椭圆余弦波所描绘的浅水中波面的一般形状。
当水深趋于很小时椭圆余弦波的一个极限状态，就是所谓的孤立波理论。孤立波的波面全部在静水面之上，波长趋于无限大（图14-7d）。此外，在斯托克斯波之前，格斯特柰尔（Gerstner）等曾根据摆线理论给出有限振幅波浪运动的解答，称为摆线波理论。摆线波理论有着很大的理论上的缺限，即这种波浪运动没有速度势，为有旋波浪运动。因此，除了利用椭圆摆线波理论得到的直立式建筑物上的波浪力公式尚有一定利用价值外，摆线波理论在其他方面已经很少采用了。
上述有限振幅波理论的推导一般都是很繁杂的，本节将介绍斯托克斯波理论梗概而略去其推导过程，关于浅水非线性波理论将在其他课程中学习。
图14-7 各种波剖面示意图
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