暖了懵意第14章 波动水力学
波动水力学主要研究波浪的运动规律。波浪是一种常见的水流运动现象，在海洋、湖泊、水库等宽广的水面上都可能发生较大的波浪。波浪理论的研究对于航运、筑港、海洋环境保护及海洋资源开发等都具有十分重要的意义。为了正确计算海上建筑物的稳定性，合理地规划、设计和建造港口与海岸工程建筑物，合理估算港湾的冲淤或海岸的变迁，合理开发波浪能量等，都必须研究波浪的运动规律。
波浪现象的一个共同特征，就是水体的自由表面呈周期性的起伏，水质点作有规律的往复振荡运动。这种运动是由于平衡水面在受外力干扰而变成不平衡状态后，表面张力、重力或科氏力等恢复力使不平衡状态又趋向平衡而造成的。海洋中的波动可以按照干扰力、恢复力等多种方式分类，例如，按照引起波动的原因（干扰力）进行分类有：由风力引起的波浪，称为风浪（风成波）；由太阳和月球以及其他天体引起的波浪，称为潮汐波；由水底地震引起的波浪，称为海啸（津波）；由船舶航行引起的波浪，称为船行波等。
引起波动的最常见的因素是风，对风作用下的波浪，在波峰的迎风面上，水质点的运动方向与风向一致，会加速水质点的运动；在波谷的背风面上，水质点的运动方向与风向相反，会减慢水质点的运动，所以风浪的剖面往往呈前坡缓、后坡陡的不对称形状，如图14-1a所示。当风停止后，由于惯性和重力的作用，波浪仍然不断地继续向前传播着。当传播到无风的海区后，这个海区也会产生波浪。这种波浪，波峰平滑、前坡与后坡大致对称，外形较规则，人们通常称它为涌浪，也叫余波。其剖面形状如图14-1b所示。
图14-1波浪剖面示意图
对于如图14-1b所显示的规则波浪的剖面，可以定义以下一系列名词和参量。 （1）波峰：波浪在静水面以上的部分；波顶：波峰的最高点。 （2）波谷：波浪在静水面以下的部分；波底：波谷的最低点。
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（3）波高H：波顶与波底之间的垂直距离。 （4）振幅a：波高的一半。
（5）波长L：两个相邻波顶（或波底）之间的水平距离。 （6）水深d：平均水面与海底的距离。 （7）周期T：波面起伏一次的时间。 （8）波浪中线：平分波高的中线。
（9）超高hs0：波浪一般具有波峰较陡、波谷较平缓的特点，波浪中线常在静水面之上，波浪中线超出静水面的高度称为超高。
（10）波速c：波浪外形向前传播的速度，等于波长除以周期，即c?LT。 （11）波陡：波高与波长的比值HL。
波高、波长、波陡、波速和波浪周期是确定波浪形态的主要尺度，总称为波浪要素。 本章将主要介绍势波的概念、微幅波理论、斯托克斯波理论以及作用在简单结构物上波浪力的计算。
13.1 势波的概念
13.1.1 势波的描述
在观察研究海浪的过程中，人们曾经发现，海洋中的波浪可以传播到很远的地方去；在实验中也可以发现，一个孤立的波峰可以在水槽中经过长距离传播而变形很小。这就说明：液体阻尼的作用即粘滞性的影响在波浪传播过程中是比较小的。因而在研究大多数海浪问题时，将液体视为理想液体，对某些海浪问题的研究不会导致重大的错误。
现考虑质量力仅为重力的均匀不可压缩理想流体，其周围和底部均受固定硬壁的限制，但液体的表面为自由面，并设液体在最初处于静止状态。设想该液体在某一极微小的时间段内受到相当大的外力作用，这些力作用在液体自由表面的各个质点上（例如一阵强风吹过海面）。由于这些力的作用，液体的初始平衡状态将被破坏。失去平衡状态的液体质点，在重力和惯性力的作用下，有恢复初始平衡状态的趋势，于是就形成了液体质点的振动。液体各个质点振动的总和，就形成了液体的波浪运动。在上述假定下，这种液体的运动将是有势的运动，也即是无旋运动，因而这种波浪运动叫做势波。研究势波问题，关键在于寻找描述波浪运动的流速势?。
由第3章可知，流速势?是满足如下拉普拉斯（Laplace）方程的调和函数
???0 （14-1）
2对于一个具体的波动，必须结合这一问题的定解条件求解上述拉普拉方程，才可求得这一问题的?值。下面将讨论二维波浪运动的定解问题。 14.1.2 波浪运动的定解条件 1. 底部边界条件
在底部不动的固体边界上，液体只能沿着边界切线方向运动，垂直于固体边界的法向速度为零。因此
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un????n?0 （14-2）
2. 自由表面边界条件
在自由表面上，若以?代表波表面相对于静水面的高度，在波浪运动中，它显然是随时间和位置而变化的。因此，对于如图14-2所示的二维流动，可表示为z??(x,t)。 在自由表面上，任一位于(x,z)处的水质点垂直分速为
uzz???dzdt????t???dx?xdt （14-3）
x图14-2 二维波动示意图
将势函数和流速的关系
uxdx??????? ??xdt??z??dz??????? ?dt??z?z??z??uzz??代入（14-3）式后有
??????????????? （14-4） ????z?t?x?x??z????z??这就是势函数在波浪自由表面上需要满足的运动边界条件。
在自由表面上，除了需要满足运动边界条件外，还需要考虑在波面上的动力因素，称为动力边界条件。
在风直接作用下的海浪波面上，压力随着位置和时间的变化很大。在我们所讨论的规则余波的条件下，可以假定波面上的压力为常数并等于大气压力，即p?pa?0。依据伯努利（Bernoulli）方程式，在重力作用下，液体的有势不恒定运动可用如下方程描述
???t?12u?2p??gz?0 （14-5）
于是便可以得到，在自由表面上，势函数需要满足的动力条件为
1??????????????????g??0 （14-6） ????????t2?x?z??z??????????z??
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223. 自由表面边界条件的简化
在研究势波运动时，当进一步研究较复杂的波浪现象，例如，不规则海浪运动的基本规律时，我们常从分析一种最简单的波动入手。这种简单的波动假定波高和波长（或水深）相比为一无限小量，在这种微幅的波动中，水质点的运动速度缓慢，波面很平缓。因此，
ux????x和???x均为小量，而它们的乘积为高一阶的小量，可以略去。这样式（14-4）
非线性的运动边界条件，就可以化为下面简单的线性关系
uz????????? 或 ?? ??t?z?t??z??z?? （14-7）
上式的物理意义是，对于微幅波动，水面上质点的垂直速度和水面本身的升降速度近似相等。 在动力边界条件(14-6)中，由于包含了u?ux?uz222??????????????，所以也是非线??x???z?222性的。对于上述简单的微幅波动，由于质点运动速度缓慢，u动力边界条件可线性化为
???1???? ??g??z?z??2项比之其他项可以略去，
在微幅波的条件下，可以用z?0处的?????????近似地代替处的，故得 z???????t?z????t?z?0???1???? （14-8） ??g??t?z?0在已知流速势函数的情况下，上式常用来推求波面的方程式。 将式(14-8)对时间取导数，则有
1??????? （14-9） 2??tg??t?z?0??2在式(14-7)中，同样用z?0处的?????????近似代替处的，并结合上式得 z??????z?z??z????z?01?????????? （14-10） ???2??zg?t??z?0??z?02 式(14-2)、（14-8）和（14-10）构成了线性化的波浪运动边界条件。在一般情况下，波浪
运动除满足上述边界条件外，尚应满足初始条件。但是，针对这里研究的风停以后的自由海波(余波)，它是有规则的周期运动，因此可以不考虑初始条件，而从设定一个反映周期性运动的流速势着手分析。
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14.2微幅波理论
在上一节中，曾经提到过一种简化了的最简单的波动。这个简化假定为：波高和波长（或水深）相比为无限小；水质点的运动速度较缓慢，速度的平方项和其他项相比可以忽略。在这些简化下，有关的流体力学方程组都成为线性的。这种简化的波浪理论称为微幅波理论、小振幅波理论或线性波理论。
微幅波的这些基本假定，显然与工程设计所考虑的波浪情况不相符合。因为，作为设计的控制条件，总是要选择具有较大波高的波浪作为设计波浪。例如，我国一条适用于40米水深海域的钻井船的设计，就采用波高11.0米、周期11.61秒（相应的波长为180.4米）的波浪作为设计波浪，这显然已远不满足微幅波的条件。但是，对微幅波的分析能较清晰地表达出波动的特性；又是研究较复杂的有限振幅波乃至不规则波的基础；同时从微幅波理论得到的某些结果还是可以近似地应用于工程设计的。因此，从简单的微幅波入手对于解决较复杂的波浪问题乃是十分必要的。下面将较为详尽地分析微幅波理论的结果。 14.2.1 波面方程的确定
水面出现简单的波动通常有两个明显的特征。首先是波面的周期性，在某一时刻，每经过一定的距离呈现一个波峰或波谷；而对于同一个位置上，每经过一定的时间出现一个波峰或波谷。其次是波面不停滞地沿着某一方向传播出去。观测表明，这种周期性和传播现象不限于波面的起伏，液体内部的质点运动也具有这种特性，只不过随水深的增加而迅速地减少而已。
实际观测表明，具有上述特性的微幅波动，可以用余弦（或正弦）曲线来表示。 如图14-3所示的微幅波的波面方程式可以表示为
??acos?kx??t? （14-11）
式中，?为波面距离静水面的高度，a为波浪振幅。
z??acos(kx??t)c?tx图14-3 微幅波传播示意图
（14-11）式中的常数k和?可以这样来确定：
（1）当x增减一个波长时，波面高度?应该不变，这就必须使kL?2?，故
k?2?L （14-12）
称为波数。
（2）当时间每增减一个周期T时，同一点的波面高度?应该不变，即?T?2?，故
??2?T
（14-13）
称为波浪的圆频率。
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