薄荷少年q U E U U CB C ε+
=
==
注意：因为C 片带电，所以2
U U C ≠
，若C 片不带电，显然2
U U C =
8-27 在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r ε，金属球带电Q ．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势． 解: 利用有介质时的高斯定理∑?
=?q S D S
d
(1)介质内)(21R r R <<场强
3
03π4,π4r
r
Q E r r Q D r εε ==内;
介质外)(2R r <场强
3
03π4,π4r
r Q E r Qr D ε ==外
(2)介质外)(2R r >电势
r
Q E U 0r
π4r d ε=
?=
?
∞
外
介质内)(21R r R <<电势
r
d r d ?+
?=
?
?
∞
∞
r
r
E E U 外内
2
02
0π4)11(π4R Q R r q r
εεε+
-=
)
1
1(
π42
0R r
Q r r
-+
=
εεε
(3)金属球的电势
r
d r d 2
2
1
?+
?=
?
?
∞
R R R E E U 外内
?
?
∞
+
=
2
2
2
02
0π44πdr R R R
r r
Qdr r
Q εεε
)
1
1(
π42
1
0R R Q r r
-+
=
εεε
8-28 如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r ε的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值． 解: 如题8-28图所示，充满电介质部分场强为2E ，真空部分场强为1E
，自由电
荷面密度分别为2σ与1σ
由∑?
=?0
d q S D
得
11σ=D ，22σ=D
而 101E D ε=,202E D r εε=
d
21U E E =
= ∴ r
D D εσσ
==
1
21
2
题8-28图 题8-29图
8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为1R 和2R (2R ＞1R )，且
l >>2R -1R ，两柱面之间充有介电常数ε的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异
号电荷Q 和-Q 时，求：
(1)在半径r 处(1R ＜r ＜2R ＝，厚度为dr ，长为l 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量； (2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容． 解: 取半径为r 的同轴圆柱面)(S 则 rlD
S D S π2d )
(=??
当)(21R r R <<时，Q q =∑ ∴ rl
Q D π2=
(1)电场能量密度
2
2
2
22
π82l
r Q
D
w εε
=
=
薄壳中
rl r Q rl r l r Q
w W εευπ4d d π2π8d d 2
2
22
2
=
=
=
(2)电介质中总电场能量
?
?=
==
2
1
1
22
2
ln
π4π4d d R R V
R R l
Q
rl
r Q W W εε
(3)电容：∵
C
Q
W 22
=
∴
)/ln(π22122
R R l
W Q
C ε=
=
*8-30 金属球壳A 和B 的中心相距为r ，A 和B 原来都不带电．现在A 的中心放
一点电荷1q ，在B 的中心放一点电荷2q ，如题8-30图所示．试求： (1) 1q 对2q 作用的库仑力，2q 有无加速度；
(2)去掉金属壳B ，求1q 作用在2q 上的库仑力，此时2q 有无加速度． 解: (1)1q 作用在2q 的库仑力仍满足库仑定律，即
2
210
π41r
q q F ε=
但2q 处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度． (2)去掉金属壳B
，1q 作用在2
q 上的库仑力仍是
2
210
π41r
q q F ε=
，但此时2q 受合
力不为零，有加速度．
题8-30图 题8-31图
8-31 如题8-31图所示，1C =0.25μF ，2C =0.15μF ，3C =0.20μF ．1C 上电压为50V ．求：AB U ． 解: 电容1C 上电量
111U C Q =
电容2C 与3C 并联3223C C C += 其上电荷123Q Q =
∴
35502523
1123
232
?=
=
=
C U C C Q U
86
)35
251(5021=+
=+=U U U
AB
V
8-32 1C 和2C 两电容器分别标明“200 pF 、500 V ”和“300 pF 、900 V ”，把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V 的电压，是否会击穿? 解: (1) 1C 与2C 串联后电容
120
300
2003002002
121=+?=
+=
'C C C C C pF
(2)串联后电压比
2
31
22
1=
=C C U
U ，而100021=+U U
∴ 6001=U V ,4002=U V 即电容1C 电压超过耐压值会击穿，然后2C 也击穿．
8-33 将两个电容器1C 和2C 充电到相等的电压U 以后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联．试求： (1)每个电容器的最终电荷； (2)电场能量的损失．
解: 如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为1q ,2q
题8-33图
则?????
?
?==-=-=+21
2
2112
1
21201021U
U U C U C q q U C U C q q q q
解得 (1) =1q U
C C C C C q U C C C C C 2
121222
1211)(,)
(+-=
+-
(2)电场能量损失
W
W W -=?0
)
22(
)2
12
1(2
2
2
1
2
1
2
22
1C q C q U C U
C +
-+=
2
2
1212U
C C C C +=
8-34 半径为1R =2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为2R =4.0cm 和3R =5.0cm ，当内球带电荷Q =3.0×10-8C 时，求： (1)整个电场储存的能量；
(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量； (3)此电容器的电容值．
解: 如图，内球带电Q ，外球壳内表面带电Q -，外表面带电Q
题8-34图
(1)在1R r <和32R r R <<区域
0=E
在21R r R <<时
3
01π4r r
Q E ε =
3R r >时
3
02π4r r
Q E ε = ∴在21R r R <<区域
?
=
2
1
d π4)π4(
2
12
22
001R R r
r r
Q W εε
?
-
=
=
2
1
)
11(
π8π8d 2
1
2
2
02
R R R R Q
r
r Q εε
在3R r >区域
?
∞
==
3
2
302
2
20021
π8d π4)π4(
2
1R R Q
r r r Q W εεε
∴ 总能量
)
111(π832
1
2
21R R R Q
W W W +
-=
+=ε
4
10
82.1-?=J
(2)导体壳接地时，只有21R r R <<时3
0π4r
r
Q E ε
=
,02=W
∴
4
2
1
2
11001.1)11(
π8-?=-
=
=R R Q
W W ε J
(3)电容器电容
)
11/(
π422
1
02
R R Q
W
C -
==
ε
12
10
49.4-?=F
习题九
9-1 在同一磁感应线上，各点B
的数值是否都相等?为何不把作用于运动电荷的磁力方向定
义为磁感应强度B
的方向?
解: 在同一磁感应线上，各点B
的数值一般不相等．因为磁场作用于运动电荷的磁力方向
不仅与磁感应强度B
的方向有关，而且与电荷速度方向有关，即磁力方向并不是唯一由磁
场决定的，所以不把磁力方向定义为B
的方向．
题9-2图
9-2 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B
的大小在沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)? (2)若存在电流，上述结论是否还对?
解: (1)不可能变化，即磁场一定是均匀的．如图作闭合回路abcd 可证明21B B
= ∑?
==-=?0d 021I bc B da B l B abcd
μ
∴ 21B B
= (2)若存在电流，上述结论不对．如无限大均匀带电平面两侧之磁力线是平行直线，但B
方向相反，即21B B
≠.
9-3 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场?
答: 不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路定理并不适用．
9-4 在载流长螺线管的情况下，我们导出其内部nI B 0μ=，外面B =0，所以在载流螺线管 外面环绕一周(见题9-4图)的环路积分
?
外B L
·d l =0 但从安培环路定理来看，环路L 中有电流I 穿过，环路积分应为
?
外B L
·d l =I 0μ 这是为什么?
解: 我们导出nl B 0μ=内,0=外B 有一个假设的前提，即每匝电流均垂直于螺线管轴线．这
时图中环路L 上就一定没有电流通过，即也是?∑==?L
I l B 0d 0μ
外，与
??=?=?L
l l B 0d 0d
外是不矛盾的．但这是导线横截面积为零，螺距为零的理想模型．实
际上以上假设并不真实存在，所以使得穿过L 的电流为I ，因此实际螺线管若是无限长时，
只是外B 的轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量r
I
B πμ20=⊥,r 为管外一点到螺线管轴
的距离．
题 9 - 4 图
9-5 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场?如果它发 生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场?
解：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不能肯定这个区域中没有磁场，也可能存在互相垂直的电场和磁场，电子受的电场力与磁场力抵消所致．如果它发生偏转也不能肯定那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转．
9-6 已知磁感应强度0.2=B Wb ·m -2
的均匀磁场，方向沿x 轴正方向，如题9-6图所示．试求：(1)通过图中abcd 面的磁通量；(2)通过图中befc 面的磁通量；(3)通过图中aefd 面的磁通量．
解： 如题9-6图所示
题9-6图
(1)通过abcd 面积1S 的磁通是
24.04.03.00.211=??=?=S B ΦWb (2)通过befc 面积2S 的磁通量
022=?=S B Φ
(3)通过aefd 面积3S 的磁通量 24.05
45.03.02cos 5.03.0233=???=θ???=?=S B ΦWb (或曰24.0-Wb ) 题9-7图 9-7 如题9-7图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其
半径为R ．若通以电流I ，求O 点的磁感应强度． 解：如题9-7图所示，O 点磁场由AB 、C B 、CD 三部分电流产生．其中 AB 产生 01=B
CD 产生R I B 1202μ=，方向垂直向里
CD 段产生 )231(2)60sin 90(sin 2
4003-πμ=-πμ=??R I R
I
B ，方向⊥向里 ∴)623
1(203210ππμ+-=++=R I B B B B ，方向⊥向里．
9-8 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线1L 和2L ，相距0.1m ，通有方向相反的电
流，1I =20A,2I =10A ，如题9-8图所示．A ，B 两点与导线在同一平面内．这两点与导线2L 的距离均为5.0cm ．试求A ，B 两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置．
