薄荷少年8-14 一电偶极子由q =1.0×10-6C 的两个异号点电荷组成，两电荷距离
d=0.2cm ，把这电偶极子放在1.0×105N ·C -1 的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩． 解: ∵ 电偶极子
p
在外场
E 中受力矩
E p M ?=
∴ qlE pE M ==m ax 代入数字
4
5
3
6
m ax
10
0.210
0.110
210
0.1---?=?????=M m N ?
8-15 两点电荷1q =1.5×10-8C ，2q =3.0×10-8C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的
距离变为2r =25cm ，需作多少功?
解:
?
?
=
=
?=
2
2
2
1
212
021π4π4d d r r r r q q r
r q q r F A εε )
11(
2
1
r r -
6
10
55.6-?-=J
外力需作的功 6
1055.6-?-=-='A A J
题8-16图
8-16 如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB
间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功． 解: 如题8-16图示
0π41ε=O U 0
)(=-R q R q
π41ε=
O U )3(R
q R
q -
R
q
0π6ε-
=
∴
R q
q U U q A o C O 00π6)(ε=
-= 8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心O 点处的场强和电势．
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =
则θλd d R q =产生O 点E
d 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向
题8-17图
θ
εθ
λπ
π
cos π4d d 2
2
2
0??-==R
R E E y
R 0π4ελ
=
［)2
sin(π
-
2
sin
π
-］
R
0π2ελ-=
(2) AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U
?
?
=
=
=A
B
20
0012
ln π4π4d π4d R
R
x
x
x
x
U ελ
ελελ
同理CD 产生 2
ln π402
ελ
=
U
半圆环产生
034π4πελ
ελ
=
=
R
R U
∴
0032142ln π2ελ
ελ
+
=
++=U U U U O 8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m ·s -1的匀速率作圆周运动．求
带电直线上的线电荷密度．(电子质量0m =9.1×10-31kg ，电子电量e =1.60×10-19C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为λ，在电子轨道处场强
r
E 0π2ελ
=
电子受力大小
r
e eE F e 0π2ελ
=
=
∴ r
v
m
r
e 2
0π2=ελ
得
13
2
010
5.12π2-?==
e mv
ελ1
m C -? 8-19 空气可以承受的场强的最大值为E =30kV ·cm -1，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d =0.5cm ，求此电容器可承受的最高电压．
解: 平行板电容器内部近似为均匀电场
∴ 4
105.1d ?==E U V
8-20
根据场强E
与电势U 的关系U E -?=
，求下列电场的场强：(1)点电荷q 的
电场；(2)总电量为q ，半径为R 的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子ql p =的
l r >>处(见题8-20图)．
解: (1)点电荷 r
q U 0π4ε=
题 8-20 图
∴
02
00π4r r q r r U E ε=??-= 0r 为r
方向单位矢量．
(2)总电量q ，半径为R
的均匀带电圆环轴上一点电势
2
2
π4x
R
q
U +=
ε
∴
()
i
x
R qx
i x U E 2
/3220π4+=
??-=ε
(3)偶极子l q p
=在l r >>处的一点电势
2
00
π4cos ])cos 21(1)
cos 2(1[π4r
ql l
l r q U εθθθε=
+--
=
∴
3
0π2cos r
p r
U E r εθ
=
??-
=
3
0π4sin 1r
p U r E εθθ
θ=
??-
=
8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同． 证: 如题8-21图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次
为1σ，2σ，3σ，4σ
题8-21图
(1)则取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合柱面为高斯面时，有 0)(d 32=?+=??
S S E s σσ ∴ +2σ03=σ 说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；
(2)在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即
22220
4
3
2
1
=-
-
-
εσ
εσεσ
εσ
又∵ +2σ03=σ
∴ 1σ4σ=
说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．
8-22 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0 mm ．B ，C 都接地，如题8-22图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A 板的电势是多少?
解: 如题8-22图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ
题8-22图
(1)∵ AB AC U U =，即 ∴ AB AB AC AC E E d d =
∴ 2
d d 2
1
===AC
AB AB
AC E E σ
σ 且 1σ+2σS q A =
得 ,
32
S
q A =
σ
S
q A 321=
σ
而
7
110
23
2-?-=-
=-=A C q S q σC
C
10
17
2-?-=-=S q B σ
(2)
3 0
1
10
3.2
d
d?
=
=
=
AC
AC
AC
A
E
U
ε
σ
V
8-23 两个半径分别为1R和2R（1R＜2R)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算：
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；
(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；
*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量． 解: (1)内球带电q
+；球壳内表面带电则为q
-,外表面带电为q
+，且均匀分布，其电势
题8-23图
??
∞∞
=
=
?
=
22
2
π
4
π
4
d
d
R R R
q
r
r
q
r
E
U
ε
ε
(2)外壳接地时，外表面电荷q
+入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q
-．所以球壳电势由内球q
+与内表面q
-产生：
π
4
π
4
2
2
=
-
=
R
q
R
q
U
ε
ε
(3)设此时内球壳带电量为q'；则外壳内表面带电量为q'
-，外壳外表面带电量为+
-q q'(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且
π
4
'
π
4
'
π
4
'
2
2
1
=
+
-
+
-
=
R
q
q
R
q
R
q
U
Aε
ε
ε
得
q
R
R
q
2
1
=
'
外球壳上电势
()
2
2
2
1
2
2
2
π
4
π
4
'
π
4
'
π
4
'
R
q
R
R
R
q
q
R
q
R
q
U
Bε
ε
ε
ε
-
=
+
-
+
-
=
8-24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为
d3
=处有一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量．
解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q'，则球接地时电势0
=
O
U
8-24图
由电势叠加原理有：
=O U 0
3π4π4'
00=+
R
q R
q εε
得 -='q 3q
8-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为0F ．试求：
(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；
(2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．
解: 由题意知
2
02
0π4r q
F ε=
(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电
2q
q =
',
小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电
q
q 43=
''
∴ 此时小球1与小球2间相互作用力
02
2
018
3π483
π4"'2
F r
q
r
q q F =
-
=
εε
(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为32q
.
∴ 小球1、2间的作用力0
0294
π43232
2F r q
q F ==ε
*8-26 如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S ，相距为d ，分别维持电势A U =U ，B U =0不变．现把一块带有电量q 的导体薄片平行地放在两极板
正中间，片的面积也是S ，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．
解: 依次设A ,C ,B 从上到下的6个表面的面电荷密度分别为1σ，2σ，3σ，
4σ,5σ,6σ如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持U U AB =可得以下6个方程
题8-26图
?????????????++++==+=+-
==
+=+=
=
=+6
5
4
3
2
1
543206
54
3002
1001σ
σ
σ
σσ
σσσσσεσσσσεσσd
U
S
q S q d
U
U C S
S q B A
解得
S
q 26
1=
=σ
σ
S q d U
203
2
-=
-=εσ
σ
S q d
U 2054+
=
-=εσσ
所以CB 间电场
S q d
U E 00
4
22εεσ
+
=
=
)
2d (212d 02
S
