薄荷少年
大学物理习题及解答
习题八
8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解: 如题8-1图示
(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷
2
2
20)
33(
π4130cos π41
2
a q q a
q
'=
?εε
解得 q
q 3
3-
='
(2)与三角形边长无关．
题8-1图 题8-2图
8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示
??
???
===22
0)sin 2(π41sin cos θεθθl q F T mg T e
解得 θπεθtan 4sin 20mg l q =
8-3 根据点电荷场强公式2
04r
q E πε=
，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，
则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?
解:
2
0π4r r
q E ε=
仅对点电荷成立，当0→r
时，带电体不能再视为点电荷，再
用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．
8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为
+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f =2
02
4d q
πε,又有人说，因为
f
=qE ,
S q E 0ε=
，所以f =S q
02
ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少?
解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第
二种说法把合场强
S q
E 0ε=
看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对
的．正确解答应为一个板的电场为
S
q E 02ε=
，另一板受它的作用力
S
q
S
q q
f 02
022εε=
=，这是两板间相互作用的电场力．
8-5 一电偶极子的电矩为l
q p
=，场点到偶极子中心O
点的距离为r ,矢量r
与l
的夹角为θ,(见题8-5图)，且l r >>．试证P 点的场强E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r 的分量θE 分别为
r E =302cos r p πεθ
, θE =3
04sin r p πεθ
证: 如题8-5所示，将p 分解为与r 平行的分量θsin p 和垂直于r 的分量θsin p ．
∵ l r >>
∴ 场点P 在r 方向场强分量
3
0π2cos r
p E r εθ=
垂直于r 方向，即θ方向场强分量
3
00π4sin r
p E εθ=
题8-5图 题8-6图
8-6 长l =15.0cm 的直导线AB 上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C ·m -1 的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强．
解： 如题8-6图所示
(1)在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为
2
0)
(d π41
d x a x
E P -=
λε
2
22
)
(d π4d x a x
E E l
l P P -=
=
?
?-ελ
]
2
12
1[
π40
l a l
a +
-
-
=
ελ
)
4(π2
20l a l
-=
ελ
用15=l cm ，9
10
0.5-?=λ1
m C -?, 5.12=a cm 代入得 2
1074.6?=P E 1C
N -?
方向水平向右
(2)同理 2
2
2
0d d π41
d +=
x x
E Q λε 方向如题8-6图所示
由于对称性
?=l
Qx E 0
d ，即
Q E 只有y 分量，
∵
2
2
2
2
2
2
2
0d d
d d π41
d ++=
x x x
E Qy λε
2
2π4d d ελ?=
=
l
Qy
Qy E
E ?
-+22
2
3
22
2
)d (d l
l x x
2
2
2
d 4π2+=l l
ελ
以9100.5-?=λ1
cm C -?, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得
2
1096.14?==Qy Q E E 1
C N -?，方向沿y 轴正向
8-7 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解: 如8-7图在圆上取?Rd dl =
题8-7图
?
λλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为
2
0π4d d R
R E ε?
λ=
方向沿半径向外
则
?
?ελ
?d sin π4sin d d 0R
E E x =
=
?
?ελ?πd cos π4)cos(d d 0R
E E y -=
-=
积分
R R
E x 000
π2d sin π4ελ
??ελ
π
=
=
?
d cos π400
=-=
?
??ελ
π
R
E y
∴
R E E x 0π2ελ
=
=，方向沿x 轴正向． 8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l ，总电量为q ．(1)求这正方形轴线上离中心为r 处的场强E ；(2)证明：在l r >>处，它相当于点电荷q 产生的场强E ．
解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷
4q
在P 点产生物强P E d 方向如图，大小为
()
4
π4cos cos d 2
2
21l
r
E P +
-=
εθθλ
∵
2
2cos 2
2
1l
r l
+
=
θ
12cos cos θθ-=
∴
2
4
π4d 2
2
2
2
l
r l
l
r
E P +
+
=
ελ
P E
d 在垂直于平面上的分量β
cos d d P E E =⊥
∴
4
2
4
π4d 2
2
2
2
2
2
l
r
r
l
r
l
r
l
E +
+
+
=
⊥ελ
题8-8图
由于对称性，P 点场强沿OP 方向，大小为
2)4(π44d 42
2220l r l r lr E E P ++=
?=⊥ελ
∵
l q 4=λ ∴
2)4(π422220l r l r qr
E P ++=ε 方向沿OP
8-9 (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q 的电场中取半径为R 的圆平面．q 在该平面轴线上的A 点处，求：通过圆平面的电通量．(x R
arctan =α)
解: (1)由高斯定理
0d εq S E s ?=
? 立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量
06εq e =Φ． (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体
中心，则边长a 2的正方形上电通量06εq e =Φ
对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则
024εq e =Φ，
如果它包含q 所在顶点则0=Φe ．
如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图
题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图
(3)∵通过半径为R 的圆平面的电通量等于通过半径为2
2x R +的球冠面的电通量，球冠面积*
]
1)[(π22
2
2
2
x
R x
x R
S +-
+=
∴
)(π42
2
00
x R S
q +=
Φε02εq
=
[2
2
1x
R
x
+-
]
*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图
α
αα
?
?=
d sin π2r r S α
αα
?
?=0
2
d sin π2r
)cos 1(π22
α-=r
8-10 均匀带电球壳内半径6cm ，外半径10cm ，电荷体密度为2×5
10-C ·m -3
求
距球心5cm ，8cm ,12cm 各点的场强． 解: 高斯定理
0d ε∑?
=
?q
S E s
,
02
π4ε∑=
q
r
E
当5=r cm 时，0
=∑
q
,0
=E
8=r cm 时，∑
q 3π
4p =3
(r )3内r -
∴
()
2
02
3
π43
π
4r
r r
E ερ
内
-=
4
10
48.3?≈1
C
N -?， 方向沿半径向外．
12
=r cm 时,
3π
4∑
=ρ
q -3
(外r ）内3
r
∴
()
4
2
03
310
10.4π43
π
4?≈-=
r
r r
E ερ
内
外
1C
N -?
沿半径向外.
8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强．
解: 高斯定理
0d ε∑?=?q S E s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2= 则 rl E S E S π2d =??
对(1) 1R r < 0,0==∑E q
(2) 21R r R << λl q =∑
∴ r E 0π2ελ
= 沿径向向外
(3) 2R r > 0=∑
q ∴ 0
=
E 5
题8-12图 8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强．
解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，
两面间， n E )(21
210σσε-=
1σ面外， n E )(21210σσε+-=
2σ面外，
n E )(21210σσε+= n ：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．
8-13 半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O 与O '点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．
解: 将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．
(1) ρ+球在O 点产生电场010=E ，
ρ- 球在O 点产生电场'd π4π34
30320OO r E ερ=
∴ O 点电场'd 33030OO r E ερ= ；
(2) ρ+在O '产生电场'd π4d 34
3
03
01OO E ερ
π='
ρ-球在O '产生电场002='E
∴ O ' 点电场
003ερ
=
'E 'OO
题8-13图(a) 题8-13图(b)
(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r
'，相对O 点位矢为r (如题8-13(b)图)
则
3ερr
E PO =
， 0
3ερr E O P '
-
=' ,
∴
003'3)(3ερερερd OO r r E E E O P PO P
=
='-=+='
∴腔内场强是均匀的．
