我叫很个性x y x y +-+
-1
(2)(3x k x x =+++ 1212[25()12]k x x x x =+++22
22
541290[
12]1313k k k k k --=++++ 2222
(5412901236)
013k k k k k
--++==+， 所以C F F
λ=
．…………10分 解法2：因为左准线方程为2
3a
x c
=-
=-，所以点M 坐标为(3,0)-. 于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+，点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，
22(,)x y ,
则点C 的坐标为11(,)x y -，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+． 由椭圆的第二定义可得
22113||
||||3||
x y FB FC x y +==
+, 所
以
B
，
F
，
C
三点共线，即
CF FB λ=
．…………………………………10分
(Ⅲ)由题意知
1211
||||||||22
S MF y MF y =
+121
||||2
MF y y =
?+121
|()6|2
k x x k =++ 2
3||13k k =
+313||||
k k =≤=+，当且仅当2
13k =时“=”成立， 所以MBC ?面积S 的最大值为
32
． 30、解：（I ）将P （1，－1）代入抛物线C 的方程2ax y =得a =－1， ∴抛物线C 的方程为2x y -=，即.2y x -=
焦点坐标为F （0，－
4
1
）.……………………………………4分 （II ）设直线PA 的方程为)1(11-=+x k y ，
联立方程???-=-=+.
),1(12
1x y x k y 消去y 得,01112
=--+k x k x 则.1,111111--=--=?k x k x 即
由.2,0)2()1(412
112
1-≠>+=---=?k k k k 得………………7分
同理直线PB 的方程为),1(12-=+x k y
联立方程??
?-=-=+.
),
1(12
2x y x k y 消去y 得,01222
=--+k x k x
则.2.1,1122222-≠--=--=?k k x k x 且即
又.2,0121≠∴=+k k k …………………………9分
设点M 的坐标为（x ，y ），由.2
,2
1x x x +=
=则
.2
)
(22112121k k k k x +--=----=
又.1,021-=∴=+x k k …………………………………………11分
.
5,2,
1)1(2)1()1(2)1()1(22121212122212
22121-≠∴±≠-≤+-=-----=
-----=--=+=y k k k k k k x x y y y 又
∴所求M 的轨迹方程为：).51(1-≠-≤-=y y x 且
31．解：（Ⅰ）2()2f x ax bx c '=++，由题意及导数的几何意义得
(1)20f a b c '=++=， （1）
2()2f m am bm c a
'=++=-，
（2） ………………2分
又a b c <<，可得424a a b c c <++<，即40
4a c <<，故0,0,a c <> ………3分
由（1）得2c a b =--，代入a b c <<，再由0a <，得
113b a
-<<，
（3） ……………………4分
将2c a b =--代入（2）得2
220a m
b m b +-=，即方程
2220ax bx b +-=有实根．
故其判别式2480b ab ?=+≥得
2b
a
-≤，或
b a
≥0，
（4） ……………………5分
由（3），（
4
）
得
01b
a
<≤； ……………………6分
（Ⅱ）由2()2f x ax bx c '=++的判别式2440b ac '?=->， 知方程2()20()f x ax bx c '=++=*有两个不等实根，设为12,x x ， 又由(1)20f a b c '=++=知，11x =为方程（*）的一个实根，则有根与
系数的关系得
122122,10b b
x x x x a a
+=-
=--<<， ……………………9分
当2x x <或1x x >时，()0f x '<，当21x x x <<时，()0f x '>， 故函数()f x 的递增区间为21[,]x x ，由题设知21[,][,]x x s t =， 因此122||||2b s t x x a -=-=+
，由（Ⅰ）知01b
a
<≤得||s t -的取值范围为[2,4)；…12分
（Ⅲ）由()0f x a '+<，即220ax bx a c +++<，即2220ax bx b +-<，
因为0a <，则2220b b x x a a +?
-?>，整理得2(22)0b
x x a
-+>， 设2()(22)b b g x x a a
=-+，可以看作是关于b
a 的一次函数，
由题意()0b g a >对于01b
a
<≤恒成立，
故(1)0,(0)0,g g -??>?≥ 即2
2220,
0,
x x x ?-??>??≥+
得1x ≤
或1x ，
由题意，[,)(,1]1,)k +∞?-∞+∞ ，
故
1k ，因此k 的最小值
为
1． ……………………16分
19
32．（本小题满分12分） 解：（1）依题意，随机变量ξ的取值是0，1，6，8．
P(ξ=0)=01.，P(ξ=1)=3098.?，P(ξ=6)= 3098.?，P(ξ=8)= 2
098
.?． 得ξ分布列： ……6分
（2）
E ξ=001.?+
3098.??1+3098.??6+2
098
.??842.≈．……12分 33．（本小题满分14分）
解：（1）∵222c a b =-，∴224c m =．……2分 又∵021=?PF ∴12PF PF ⊥，…………3分 ∴()2
2
2
2
12216PF PF c m +==． (5)
分
由椭圆定义可知122PF PF a +==，
()
2
22
1
2
16824PF
PF m m +=+=，…6分
从而得21m =，2244c m ==，
2c =． ∴()120F -，、()220F ，． …………7分
（2）∵
F 1（-2，0），F 2（2，0），
由已知：1QF =，即2
2
12QF QM =，所以有：
(
)
2
2
1221QF QF =-，设P （x ，y ）， …9分 则
()
()2
2
2
2
2221x y x y ??++=-+-??
，…12分
即()2
2
632x y -+=（或221240x y x +-+=）
综上所述，所求轨迹方程为：()2
2
632x y -+=．…14分
34．（本小题满分14分）
解：（1）由a n ＋1＝a n ＋6a n －1，a n ＋1＋2a n ＝3(a n ＋2a n －1) (n≥2) ∵a 1＝5，a 2＝5 ∴a 2＋2a 1＝15
故数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列 …………5分
（2）由（1）得a n ＋1＋2a n ＝5·3n 由待定系数法可得(a n ＋1－3n ＋
1)＝－2(a n －3n )
即a n －3n ＝2(－2)n －1 故a n ＝3n ＋2(－2)n －
1＝3n －(－2)n ………9分
（3）由3n
b n ＝n(3n
－a n )＝n[3n
－3n
＋(－2)n
]＝n(－2)n
，∴b n ＝n(－2
3
)n
令S n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝23＋2(23)2＋3(23)3＋…＋n(2
3)n
23S n ＝(23)2＋2(23)3＋…＋(n －1)(23)n ＋n(23)n ＋
1 …………11分
得13S n ＝23＋(23)2＋(23)3＋…＋(23)n －n(23)n+1＝23[1－(2
3)n ]1－
23－n(23)n+1＝2[1－(2
3
)n ]－n(23
)n+1 ∴ S n ＝6[1－(23)n ]－3n(2
3
)n+1＜6
要使得|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＜m 对于n ∈N ＊
恒成立，只须m≥6 …14分
35．（本小题满分14分）
解：（1）
2
21212()24x x k x x +≤=
，当且仅当122k x x ==时等号成立， 故u 的取值范围为
2
(0,]
4k ．……5分 （2）解法一（函数法）
121212121221
111
(
)()x x x x x x x x x x x x --=+-- 22
22121212121212111
22
x x k k x x x x u x x x x x x u
+--=+-=-+=-+……6分
由2
04k u <≤，又1k ≥，210k -≥，∴2
1()2k f u u u -=-+在2(0,]4
k 上是增函数， ……7分
所以
121211()()x x x x --=212
k u u
--+2222
2214222()4424
k k k k k k k -≤-+=-+=- 即当1k ≥时不等式21212112
(
)()()2k x x x x k
--≤-成立． ………9分 解法二（不等式证明的作差比较法）
2
2112()()()2k x k --=21212212
211424x x k x x x x x x k +----+ 2
121221
()(2)4x x k x
x x x --+-2212121212
4()4k x x x x x x ---，
将22
12124()k x x x x -=-代入得
21212112()()()2k x x x x k ----2221212212
()(44)4x x k x x k k x x ---=， ……6分
∵212()0x x -≥，1k ≥时22221212444(1)0k x x k k k x x --=--<，
∴22212122
12
()(44)
04x x k x x k k x x ---≤， 即当1k ≥时不等式21212112
(
)()()2k x x x x k
--≤-成立．……………9分 （3）解法一（函数法）
记121211()()x x x x --=212()k u f u u -++=，则22
2()()22
k k f k -=，
即求使2()()4k f u f ≥对2
(0,]4
k u ∈恒成立的k 的范
围． …………10分 由（2）知，要使21212112
()()()2k x x x x k
--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立，必有01k <<， 因此210k ->，
20
∴函数2
1()2k f u u u
-=++
在
上递减，在)+∞上递
增，………12分
要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f ≥
，必有2
4k ≤，即
4216160k k +-≤，
解得208k <≤． ……………14分 解法二（不等式证明的作差比较法）
由(2)可知21212112()()()2k x x x x k ----=2221212212
()(44)
4x x k x x k k x x ---，
要不等式恒成立，必须2
2
12440k x x k --≥恒成立， …………10分
即2
122
44k x x k
-≤恒成立， …………11分
由21204k x x <≤得22
2
444k k k -≤
，即4216160k k +-≤， …………13分
解得2
08k <≤． 因此不等式21212112
(
)()()2k x x x x k
--≥-恒成立的2k
的范围是208k <≤． ……14分
36、解：(1）设椭圆的焦距为2c ,因为36
=a c ，所以有322
22=-a
b a ，故有2
2
3b a =。从而椭圆C 的方程可化为：22233b y x =+ ① ………2分 易知右焦点F 的坐标为（0,2b ）， 据题意有
AB
所在的直线方程为：b x y 2-=
② ………3分
由①，②有：032642
2
=+-b bx x ③
设),(),,(2211y x B y x A ，弦AB 的中点),(00y x N ，由③及韦达定理有：
.4
2
2,423200210b b x y b x x x -=-==+=
所
以
3
1
00-==
x y K ON ，即为所
求。 ………5分
(2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数μλ,，使得等式
μλ+=成立。设),(y x M ，由1）中各点的坐标有：),(),(),(2211y x y x y x μλ+=，
所以2121,y y y x x x μλμλ+=+=。 ………7分 又点在椭圆C 上，所以有2
2
212
213)(3)(b y y x x =+++μλμλ
整理为2212122222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ。
④
由③有：4
3,2232
2121b x x b x x =
?=+。所以 0
6936)(234)2)(2(332222212121212121=+-=++-=--+=+b b b b x x b x x b x b x x x y y x x ⑤
又A ﹑B 在椭圆上，故有22
22
222
12
13)3(,3)3(b y x b y x =+=+ ⑥ 将
⑤
，
⑥
代
入
④
可
得
：
122=+μλ。 ………11分
