我叫很个性b c
剟，
>>，所以()()
12
,
f x f x是“保三角形函
数”. 3分
对于()
3
f x，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但222
335
+<，
所以不存在三角形以222
3,3,5为三边长，故()
3
f x不是“保三角形函
数”．4分
（II）设0
T>为()
g x的一个周期，由于其值域为()
0,+∞，所以，存
在0
n m
>>，使得()()
1,2
g m g n
==，
取正整数
n m
T
λ
-
>，可知,,
T m T m n
λλ
++这三个数可作为一个三
角形的三边长，但()1
g T m
λ+=，()()
1,2
g T m g n
λ+==不能作为任
何一个三角形的三边长．故()
g x不是“保三角形函
数”．8分
（III）A的最大值为
5
6
π
．9分
一方面，若
5
6
A
π
>，下证()
F x不是“保三角形函数”.
取()
55
,,0,
266
A
πππ
∈，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，
但
5151
sin1,sin,sin
26262
πππ
===不能作为任何一个三角形的三边
()
F x不是“保三角形函数”.
5
6
A
π
=时，()
F x是“保三角形函数”．
对任意三角形的三边,,
a b c，若
5
,,(0,)
6
a b c
π
∈，则分类讨论如下：
（1）2
a b cπ
++…，
此时
55
22
663
a b c
πππ
ππ
-->--=
…，同理，,
3
b c
π
>，
∴
5
,,(,)
36
a b c
ππ
∈，故
1
s i n,s i n,s i n
2
a b c∈，
11
sin sin1sin
22
a b c
+>+=…．
同理可证其余两式.
∴sin,sin,sin
a b c可作为某个三角形的三边长．
（2）2
a b cπ
++<
此时，
22
a b c
π
+
+<，可得如下两种情况：
22
a bπ
+
≤时，由于a b c
+>，所以，0
222
c a bπ
+
<<≤.
由sin x在(0,]
2
π
上的单调性可得0sin sin1
22
c a b
+
<<≤；
22
a bπ
+
>时，0
222
c a bπ
π
+
<<-<，
同样，由sin x在0,
2
π
??
?
??
上的单调性可得0sin sin1
22
c a b
+
<<<；
总之，0sin sin1
22
c a b
+
<<≤.
又由
5
6
a b c
π
-<<及余弦函数在()
0,π上单调递减，得
5
cos cos cos cos0
22212
a b
a b cπ
-
-
=>>>，
∴sin sin2sin cos2sin cos sin
2222
a b a b c c
a b c
+-
+=>=．
同理可证其余两式，所以sin,sin,sin
a b c也是某个三角形的三边长．故
5
6
A
π
=时，()
F x是“保三角形函数”．
综上，A的最大值为
5
6
π
．
18、解：（Ⅰ）
11
(1),
1
－
=-
a
S a
a
∴
1
,
=
a a
当2
n≥时，
11
,
11
n n n n n
a a
a S S a a
a a
--
=-=-
--
1
n
n
a
a
a
-
=，即{}
n
a是等比数列．∴
1
n n
n
a a a a
-
=?=；……………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
2(1)(31)2
11
(1)
n
n
n n n
a
a a a a
a
b
a a a
?---
-
=+=
-
，若{}
n
b为等
比数列，
则有2
213
,
b b b
=而
2
1232
32322
3,,,
a a a
b b b
a a
+++
===
故
2
2
2
32322
()3
a a a
a a
+++
=?，解得
1
3
a=，………………………………7分
13
14
再将13a =代入得3n n b =成立， 所以1
3
a =． …………8分 （III ）证明：由（Ⅱ）知1
()3
n n a =，所以
1
1111331131311()1()
33
n n n n n n n c +++=+=+
+-+- 111311311111131313131n n n n n n ++++--+=+=-+++-+-1112()3131
+=--+-n n ， ………… 9分
由111111,313313n n n n ++<>+-得11
1111
,313133
n n n n ++-<-+- 所
以
11
1311
2(
)2()313133＋++=-->---n n n n n c ， …………………… 12分
从
而
122231111111
[2()][2()][2()]333333
n n n n T c c c +=+++>--+--+--
22311111112[()()()]333333n n n +=--+-++- 1111
2()2333
n n n +=-->-
．
即1
23
n T n >-． ………………………14分
19、解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，
所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．
当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．…… 4分（文6分）
（II ）当2n ≥时，由于21a a c -=，322a a c -=，……
1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)
[12(1)]2
n n n a a n c c --=+++-=
。 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+= ，，．当n=1时，上式也成立，所以2
2(12)n a n n n =-+= ，，……8分 （III ）b n =32n-2-3n-1+2, ∴n n n b b 1
lim +∞→=9. ……12分
20、解：（1）???
?
??=?=02Q 为PN 的中点且GQ ⊥PN
?GQ 为PN 的中垂线?|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G 点的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，其长
半轴长3=a ，半焦距5=
c ，∴短半轴长b=2，∴点G 的轨迹方程
是14
92
2=+y x ………5分 （2）因为+=，所以四边形OASB 为平行四边形 若存在l 使得||=||，则四边形OASB 为矩形0=?∴
若l 的斜率不存在，直线l 的方程为x =2，由??
???±==?????=+=35221492
22y x y x x 得
0,09
16
=?>=
?∴与矛盾，故l 的斜率存在. ………7分
设l 的方程为),(),,(),2(2211y x B y x A x k y -=
0)1(3636)49(149
)
2(222222=-+-+????
??=+-=k x k x k y x x k y 由
4
9)
1(36,493622212221+-=+=+∴k k x x k k x x ①
)]2()][2([2121--=x k x k y y
4
920]4)(2[22
21212
+-=++-=k k x x x x k ② ……………9分
把①、②代入2
3
02121±
==+k y y x x 得
∴存在直线06230623:=-+=--y x y x l 或使得四边形OASB 的
对角线相等.
21、 解：（1）以AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则
()()
()
A B C -3030523，，，，，则
()()
A C k m =++
=53232192
2
即A 、C 两个救援中心的距离为219k m
（2）∵||||P C P B =，所以P 在BC 线段的垂直平分线上
又∵||||P BP A -=4，所以P 在以A 、B 为焦点的双曲线的左支上，且A B =6
∴双曲线方程为()x y x 22
45
10-=<
BC 的垂直平分线的方程为x y +-=370 联立两方程解得：x =-8
()
∴，，∠P k P A B P A
-==-8533t a n ∴∠PAB ＝120°所以P 点在A 点的北偏西30°处
（
3）如图，
设
P Q h P B x P A y ===，，∵Q B Q A x h y h -=+-+2222
()=-
+++=-++++xy x h y h x y x y
x h y h
22
22222222
2 又∵
x y x h y h
++++<2
2
2
2
1
QB QA PB PA -<-∴1111
QB QA PB PA
-<-∴ 即A 、B 收到信号的时间差变小
22、解：（Ⅰ）三个函数的
最小值依次为1
，
，
，…………………… …3分
由(1)0f =，得1c a b =--- ∴
3232()(1)f x x ax bx c x ax bx a b =+++=++-++2(1)[(1)(1)]x x a x a b =-+++++，
故方程2
(1)(1)0x a x a
b +++++=
．
15
(1)a =-+
1a b =++．………………………4分
22(1)a =+，即222(1)(1)a b a +++=+
∴ 2
23a b =+． …………………………………………………………5分
（Ⅱ）①依题意12,x x 是方程2'()320f x x ax b =++=的根，故有
1223
a
x x +=-
，123b x x =，
且△2(2)120a b =->，得3b <．
由
12||x x -==
=
………………………7分
3
23=；得，2b =，2
237a b =+=．
由（Ⅰ
(1)0a =-+>，故1a <-， ∴
a =
(1)3c a b =-++=
∴ 3
2
()23f x x x =+．…………………………………………9分
②12|||()()|M N f x f x -=-3322
121212|()()()|x x a x x b x x =-+-+-
212121212|||()()|
x x x x x x a x x b =-?+-++
+222|()()|333
a b a
a b =
--+?-+ 324(3)27b =-（或3
2249()272
a -）． ………………………………………11分 由（Ⅰ
）22(1)2a +==+∵ 01t <<，∴ 22(1)4a <+<， 又1a <-，∴
21a -<+<
31a -<<
，239a +<
3b <<） (13)
分
∴ 3
24
0||(32)27
M N <-<．…………………………………15分
23．（本小题满分12分）
解：（I ）由22
414x y y x =
=得，.2
1
x y ='∴∴直线l 的斜率为1|2='=x y ，………1分
故
l
的方程为1-=x y ，∴点
A
坐标为（1，
0） …………………………………… 2分
设),(y x M 则),1(),,2(),0,1(y x y x -=-==， 由0||2=+?得 .0)1(20)2(22=+-?+
?+-y x y x
整理，得.12
22
=+y x ……4分 ∴点M 的轨迹为以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为22，短轴长为2的椭圆 ……… 5分
（II ）如图，由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设l 方程为y=k (x －
2)(k ≠0)①
将①代入12
22
=+y x ，整理，得
0)28(8)12(2222=-+?-+k x k x k ，
由△>0得0 2 1 . 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2) 则 ??? ????+-=+=+.1228,12822 2122 21k k x x k k x x ②………………………………………………………7分 令 ||| |,BF BE S S OBF OBE == ??λλ则，由此可得 .10,2 2
