旅游线路设计和对比[1](6)

Y1=L1'X=l11X1+ +lp1Xp

Y=L'X=lX+ +lX

p1p1ppp p

（1）

易见

Var(Yi)=Li∑Li

'

Cov(Yi,Yj)=Li∑Lj

'

i,j=1,2, ,p

（2）

如果要用Y1尽可能多地保留原始的X的信息，经典的办法是使Y1的方差尽可能大，这需要对线性变换的系数L1加限制，一般要求它是单位向量，即

L1'L1=1。其它的各Yi也希望尽可能多地保留X的信息，但前面的Y1,Y2, ,Yi 1已保留的信息就不再保留，即要求Cov(Yi,Yj)=0,j=1,2, ,i 1，同时对Li也有

Li'Li=1的要求，在这样的条件下使Var(Yi)最大。设协方差阵

∑

的特征值为

λ1≥λ2≥ ≥λp≥0，相应的单位特征向量分别为a1,a2, ,ap（当特征根有重根时单位特征向量不唯一）。这时X的第i个主成分为Yi=ai'X,i=1,2, ,p，且

Var(Yi)=λi。记A=(a1,a2, ap)。

λ1 Λ=

λp

p

p

（3）

Y=(Y1,Y2, Yp)，则A为正交阵，Y=AX，Var(Y)=Λ，且∑λi=∑σii，其

'

1

1

中σii为

∑

的主对角线元素。