生人勿近要好的解，从而替代了全局最优解。此时，每个粒子将会飞向它自身最好位置和群体全局最好位置的权重中心。所以如果没有第一部分，粒子群算法的搜索空间将会随着进化而收缩。此时只有当全局最优解在初始搜索区间时，粒子群算法才可能找到解。所以求解结果非常依赖于初始群体。当没有第一部分时，此算法更像是局部最优算法。
对于不同的问题，局部最优能力和全局最优能力的权衡也不一样。考虑到这个问题，并结合以上的讨论，Shi和Eberhart添加了一个惯性权重?到速度更新公式，即式(3-2)。
vijt?1??tvijt?c1r1?(pbestijt?xijt)?c2r2?(gbestijt?xijt) （3-2）
位置更新公式与基本粒子群算法更新公式相同。惯性权重?起着权衡局部最优能力和全局最优能力的作用。为了研究惯性权重对粒子群算法性能的影响，Shi和Eberhart将此算法应用到Schaffer’s f6函数中，这是个著名的评价优化算法的基准函数。他们改变惯性权重的大小，通过大量的实验得到两个结论：
1）当惯性权重较小时（<0.8），如果粒子群算法能找到全局最优解的话，那么它所经历的搜索时间是很短的，即所有的粒子趋向于快速汇集在一起。如果最优解是在初始搜索空间内，粒子群算法将会很容易找到全局最优，否则它会找不到全局最优。
2）当惯性权重较大时（>1.2），粒子群算法更像全局最优解，且它总是在探索新区域。当然，这时的粒子群算法会需要更多的迭代来达到全局最优解，且更有可能找不到全局最优解。当惯性权重适中时，粒子群算法将会有更大的机会找到全局最优解，但迭代次数也会比第一种情况更多。
根据以上分析，他们不是把惯性权重设为定值，而是设为一个随时间线性减少的函数，惯性权重的函数形式通常如式（3-1）所示。
?t??max?其中
?max??mintmax?t （3-1）
?max为初始权重；?min为最终权重；tmax为最大迭代次数；t为当前迭代次数。
这个函数使得粒子群算法在刚开始时倾向于开掘，然后逐渐转向开拓，从而在局部区域调整解。这些改进使得粒子群算法的性能得到很大的提高。
3.3.2 测试函数与测试环境
为了考察标准粒子群算法的性能，对两个典型的测试函数进行优化。选定测试函数
如表3-1所示。
表3-1 两个测试函数
测试函数 f(x,y) x,y取值范围 [-30,30] [-5.12,5.12] 求最大/最最优值 小值 最小值 最大值 Ⅰ 100(x2?y)2?(1?x)2 Ⅱ (3 )2?(x2?y2)2220.05?(x?y)0 3600 对于测试函数Ⅰ，目标为求该函数的最小值，最优值为0，在（1，1）点取到。该函数为单峰函数，函数较为简单，不存在局部极值，但是函数的取值范围较大，在[-30，30]之间，在求解过程中应设置较大的粒子群数和迭代代数，才能较快地收敛到最优值。函数图象如图3-1所示。
图3-1 测试函数Ⅰ
对于测试函数Ⅱ，目标为求该函数的最大值，最优值为3600，在（0，0）点取到。该函数为多峰函数，在(?5.12,?5.12)处分别有四个局部极值，中间（0，0）是全局极值，非常狭长陡峭，容易陷入局部极值，是非常具有代表性的测试函数。函数图象如图3-2所示。
图3-2 测试函数Ⅱ
利用选取好的两个测试函数，测试标准粒子群算法的性能。由于测试环境不同对算法性能评估也不一样，故将本次实验测试环境列出，如表3-2所示。
CPU 硬盘 内存 工具 编程工具 表3-2 测试环境 lenovo笔记本 Pentium?Dual-Core CPU T4200 160G 2.0HZ Matlab 6.5 电脑型号 电脑配置 3.3.3 算法流程设置
粒子群算法无需像遗传算法采用二进制编码，而是采用实数编码直接进行优化计算。将测试函数本身设为适应度函数进行求解，求解步骤与基本粒子群算法类似，只是速度调整公式有所不同，具体见如下流程。
图3-3 标准粒子群算法简要流程
表3-3 参数初始化（以测试函数Ⅱ为例）
步骤 具体操作 最大惯性权重 最小惯性权重 算法基本参数初始化 参数初始化 是否调试参数 对应MATLAB代码 是 是 wmax=0.9; wmin=0.4; itmax=200; N=200; c1=2; c2=2; j=1; for iter=1:itmax W(iter)=wmax-((wmax-wmin)/itmax)*iter; end; D=2; a=-5.12;b=5.12; x=a+(b-a)*rand(N,D,1); V=wmin+(wmax-wmin)*rand(N,D,1); 最大迭代次数 是 粒子群大小 是 学习因子1 是 学习因子2 是 初始化迭代次数 否 否 循环迭代前初始化惯性权重 设置目标函数相关参数 粒子初始化 惯性权重按迭代次数线性递减 自变量解的维度 解的左边界a,右边界b 位置初始化 速度初始化 否 否 否 否 表3-4 计算第一代适应度值（以测试函数Ⅱ为例）
步骤 具体操作 对应MATLAB代码 for i=1:N x0(1)=x(i,1,1);x0(2)=x(i,2,1); 计算每个粒子的适应度值 F(i,1,1)=f4(x0); end; [C,I]=max(F(:,1,1)); 求第一代粒子的最大值 [C,I]=max(F(:,1,1)); 计算第一代适应度值 gbest(1,1,1)=x(I,1,1); gbest(1,2,1)=x(I,2,1); for p=1:N for r=1:D 对全局最优位置进行赋值 G(p,r,1)=gbest(1,r,1); end;end; x0(1)=G(1,1,1);x0(2)=G(1,2,1); Fbest(1,1,1)=f4(x0); 对粒子自身最优位置进行赋值 for i=1:N pbest(i,:,1)=x(i,:,1); end; x0(1)=gbest(1,1,1);x0(2)=gbest(1,2,1); Fb(1,1,1)=f4(x0); 表3-5 迭代求解（以测试函数Ⅱ为例）
步骤 具体操作 对应MATLAB代码 V(:,:,j)=W(j-1)*V(:,:,j-1) +c1*rand*(pbest(:,:,j-1)- x(:,:,j-1))+c2*rand* (G(:,:,j-1)-x(:,:,j-1)); x(:,:,j)=x(:,:,j-1)+V(:,:,j); for xx=1:N for yy=1:D if x(xx,yy,j)bx(xx,yy,j)=b; end;end;end; for i=1:N x0(1)=x(i,1,j);x0(2)=x(i,2,j); F(i,1,j)=f4(x0); end; [C,I]=max(F(:,:,j)); if C>Fb(1,1,j)%如果当代不是最大值，则修改第j代全局最优值的位置gbest(1,1,j)=gbest(1,1,I); gbest(1,2,j)=gbest(1,2,I);end; for i=1:N [C,I]=max(F(i,1,:)); if F(i,1,j)>=C pbest(i,:,j)=x(i,:,j); else pbest(i,:,j)=x(i,:,I); end;end; 速度调整 位置调整 边界控制 迭代求解 计算适应度值 调整全局最优值 调整粒子自身最优值 表3-6 终止迭代和结果输出（以测试函数Ⅱ为例）
步骤 终止迭代和具体操作 迭代代数 对应MATLAB代码 j=itmax
