梦幻之旅（3）过D作DP⊥AC于点P，以P为圆心，半径长为画圆，过点D分别作⊙P的切线DE、DF，点E、F是切点．除P点外在直线AC上任取一点P1，半径长为画圆，过点D分别作
⊙P的切线DE1、DF1，点E1、F1是切点．在△DEP和△DFP中，△DPE≌△DPF．所以S
四边形DEPF
=2S△DPE=DE．可知当DE取最小值时，S四边形DEPF的值最小．所以当DE是D点
．
与切点所连线段长的最小值．利用相似求得DE的长，再求得S四边形DEPF=
解答：解： （1）连接BO与AC交于点H，则当点P运动到点H时，直线DP平分矩形OABC的面积．理由如下：
∵矩形是中心对称图形，且点H为矩形的对称中心．
又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，
因为直线DP过矩形OABC的对称中心点H，所以直线DP平分矩形OABC的面积．（2分） 由已知可得此时点P的坐标为P（，2）． 设直线DP的函数解析式为y=kx+b． 则有
，解得k=
，b=
．
所以，直线DP的函数解析式为：y=x+．（5分）
（2）存在点M使得△DOM与△ABC相似．
如图，不妨设直线DP与y轴的正半轴交于点M（0，ym）． 因为∠DOM=∠ABC，若△DOM与△ABC相似，则有
或
．
当时，即，解得
．所以点M1（0，
）满足条件．
当时，即，解得
．所以点M2（0，
）也满足条件．
）满足条件．
由对称性知，点M3（0，﹣
综上所述，满足使△DOM与△ABC相似的点M有3个， 分别为M1（0，
（3）如图，过D作DP⊥AC于点P，以P为圆心，半径长为画圆，
过点D分别作⊙P的切线DE、DF，点E、F是切点．除P点外在直线AC上任取一点P1，半径长为画圆，
过点D分别作⊙P的切线DE1、DF1，点E1、F1是切点． 在△DEP和△DFP中，∠PED=∠PFD，PF=PE，PD=PD， ∴Rt△DPE≌Rt△DPF．
）、M2（0，
）、M3（0，﹣
）．
∴S四边形DEPF=2S△DPE=2××DE?PE=DE?PE=DE．
∴当DE取最小值时，S四边形DEPF的值最小．
222222
∵DE=DP﹣PE，DE1=DP1﹣P1E1，
2222
∴DE1﹣DE=DP1﹣DP．
22
∵DP1＞DP，∴DE1﹣DE＞0．
∴DE1＞DE．由P1点的任意性知：DE是D点与切点所连线段长的最小值．（12分） 在△ADP与△AOC中，∠DPA=∠AOC， ∠DAP=∠CAO，∴△ADP∽△AOC． ∴∴DP=∴
∴S四边形DEPF=
，即S=
，即．
．
．（14分）
．
23.
（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝所以AH＝
AH3?，AB1031＝AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5． 22因为DE//BC，所以
ABAC5?，即5?3．于是得到y?x，（x?0）．
3DBECyx（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以
DEAEMNANDE|3?x|??，，即，?BCACBCAC531|3?x|MN2．因此DE?5|3?x|，圆心距MN?5|6?x|． ?3653
图2 图3 图4
11511BD?y?x，在⊙N中，rN?CE?x． 2262251305|6?x|①当两圆外切时，x?x?．解得x?或者x??10．
62136305(3?x)15如图5，符合题意的解为x?，此时DE??．
13313515|6?x|②当两圆内切时，x?x?．
626305(x?3)15当x＜6时，解得x?，如图6，此时E在CA的延长线上，DE??；
737在⊙M中，rM?当x＞6时，解得x?10，如图7，此时E在CA的延长线上，DE?5(x?3)35． ?33
图5 图6 图7
（3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形．
如图8，当D、E、F为△ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF＝2.5．根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF＝4.1．
如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时
BF?125． 34
图8 图9 图10 图11
考点伸展
第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是△ABC的高，D、E、F为△ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形． 24.
（1）在△ABC中，AC?1，AB?x，BC?3?x，所以??1?x?3?x, 解得1?x?2．
1?3?x?x.?（2）①若AC为斜边，则1?x2?(3?x)2，即x2?3x?4?0，此方程无实根． ②若AB为斜边，则x2?(3?x)2?1，解得x?③若BC为斜边，则(3?x)2?1?x2，解得x?因此当x?5，满足1?x?2． 34，满足1?x?2． 354或x?时，△ABC是直角三角形． 33（3）在△ABC中，作CD?AB于D，设CD?h，△ABC的面积为S，则S?1xh． 2①如图2，若点D在线段AB上，则1?h2?(3?x)2?h2?x．移项，得
(3?x)2?h2?x?1?h2．两边平方，得(3?x)2?h2?x2?2x1?h2?1?h2．整理，
得x1?h2?3x?4．两边平方，得x2(1?h2)?9x2?24x?16．整理，得x2h2??8x2?24x?16
所以S2?431122． xh??2x2?6x?4??2(x?)2?（≤x?2）
2243当x?4231时（满足≤x?2），S2取最大值，从而S取最大值．
2223
图2 图3
②如图3，若点D在线段MA上，则(3?x)2?h2?1?h2?x． 同理可得，S2?易知此时S?
431122． xh??2x2?6x?4??2(x?)2?（1?x≤）
22432． 2
综合①②得，△ABC的最大面积为
2． 2考点伸展
第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设AD?a， 例如在图2中，由AC?AD?BC?BD列方程1?a2?(3?x)2?(x?a)2． 整理，得a?22223x?4．所以 x?8x2?24x?16?3x?4?1?a?1??． ??2x?x?22因此
S2?12x(1?a2)??2x2?6x?4． 425. （1）解法一：∵一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0）
∵抛物线
16a?4b?0?b??4a 解法二：∵一次函数y?ax2?bx?c经过O、A两点?c?0，y?kx?4k的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点 ∴
抛物线的对称轴为直线x?2?x??b?2 2a（2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为
y?ax2?4ax∴点D的坐标为（2，?4a） ①当a?0时， 如图1，设⊙D被x轴分
