少年我好累即
().
,,2,1对角矩阵为分块那么称都是方阵其中A s i A i
=104
向前向后返回()并有
则若,0,,,2,10≠=≠A s i A i .21??????
?????
???=s A A A A
o
o
(),62
1
??????
????
??
?
?=s A A A A
设o
o
1?1?1
?1?105向前
向后
返回
()??????
???????
??????????????
?s s B B B A A A
000000
00000072121
.
0000002211??
?
?
?
?
?
???
??
??=s s B A B A B A 106
向前
向后
返回
例1 设
,
A ??
??
?
?
=??
??
??
1
000010023102
301,
B ??
??
?
?
=??
??
??
0001001001001000.
AB 求解
分块成
把B A ,????
??
????
???
?
=10
011
01A 00
00232
3
,??
?
???=E E O 1A 107向前
向后
返回
B ??
??
?
?=????
??
0001001001001000?
?
?
???=O B 1B 2O 则E
O O B AB A E B O ????=?
???????
112O EB O O
B O EB A B O B A B +????
==?
??
?++????
11211211108
向前向后返回O B AB B A B ??=?
???12
11又A B 11??????
==?
???????????
230132231032，.??????=??????
0010
0100
1321
03
2于是
第二章矩阵及其运算
19
109
向前
向后
返回
,
100100000
001???
?
?
?
?
???
???
?=b b a a A 设?????
???
????=b b a a
B 1
00
000001000.
,ABA B A +求例2
110
向前
向后返回
解分块
将B A ,??????
?
???
???
?=b b a a A 1
00100000001,0021???
???=
A A ????
????
????=b b a a B 1
00
000001000,0021????
??=B B 其中
,011
??????=a a A ;1
12??????=b b A ,1
01??????=a a
B ;1
02??
????=b b B 其中111
向前
向后
返回
??
????+????
??=+21
21
000B B A A B A ,
2211??
????++=B A B A ??????+??????=+a a a a B A 100111,
2112???
???=a a ??????+??????=+b b b b B A 101122,
2212??
?
???=b b 112
向前
向后
返回
.?????
?=??????
a a
b b 2100120000210022??
????+??????=+∴2121
000B B A A
B A ?
?
????++=22110
B A B A 113向前
向后
返回
??
??????????????
??=21
21
21
000
000A A B B A A ABA ,
222111??
????=A B A A B A ,123223111????
????+++=a a a a a a A B A ,
231223223222???
?
????+++=b b b b b b A B A 114
向前向后返回??
?
???????????????=∴212121
000000A A B B A A ABA ??
????=2221
1100A B A A
B A .??++??+??=??++????+??
a a a a a a
b b b b b b 32233223210000002210032
第二章矩阵及其运算
20
115向前
向后
返回
例3 设,120130005???
?
??????=A .
1?A 求解
????
??????=120130005A ,21??
?
?
??=A O O A (),
51=A ;
5111??
?
???=?A ,
12132??
????=A ;
????=?????A 1
21123116
向前向后返回???
????
?=∴???121
11A O
O A A .??
????
=??????????
10050
11023117
向前
向后
返回
三、小结
在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最
基本,最重要的计算技巧与方法.
(1) 加法采用相同的分块法
同型矩阵,(2) 数乘的每个子块
乘需乘矩阵数A k A k ,(3) 乘法
分块矩阵之间的运算
分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
行的划分相一致.
的列的划分与需相乘与若B A B A ,118
向前
向后
返回
(4) 转置
?
???
??????=sr A A A 11r A 11s A T s A 1T r A 1??????????=T sr T T
A A A
11?(5) 分块对角阵的行列式与逆阵?????
?
?
???????=s A A A A
21O O .
21s A A A A =?119向前向后返回????
?
?
?
???????=s A A A A
21O O ().
,,,,,2,111
2111????==?s i A A A diag A s i A A 且
可逆可逆120
向前向后返回思考题
.
,1?A A 并求可逆证明,,都是可逆方阵和其中设C B ??
=?
???
B D A O
C O
A A A A A O 1122
??
=?
???
设，其中、都是可逆方阵，.
A A 1?证明可逆，并求1.2.
第二章矩阵及其运算
21
121向前
向后
返回
思考题解答
证1.,,可逆由C B ,0≠=C B A 有.
可逆得A ,X X A X X 1112121
22???=????设.X X B D E O X X O C O E ??????=????????????11122122,
,
,.BX DX E BX DX O CX O CX E 11211222
2122+=??+=???
=??=?,,,
.
X B X B DC X O X C 111111221122?????=?=????=??=?则122
向前向后返回.1111
1
???
?
???
??=?????C O
DC B B A 因此
2.;O
A A A O 11
2
1
1
?????=????
,
s s A A A A A A A 1
112
11
2
1
1
??????
??
???
?
?
?
??
?==????
??????????
一般地，,,,s A A A 12 其中均为可逆方阵.
,1
111a b A b a ????????=????????特别地，=
