少年我好累1，
70
向前
向后
返回
例1
求方阵的逆矩阵.
???
?
?
?????=343122321A 解==123
2212
343
∵A ,≠0.
1存在?∴A ,23
41
211==
A ,33
31
212?=?
=A 三、逆矩阵的求法
71
向前
向后
返回
同理可得
,
2,6,6,223222113=?===A A A A ,2,5,4333231?==?=A A A ,
??????=?????????
A 264365222故
??=A A
A 1
1?????=?????????264136
522
22.??
???=?????????
132********所以
72
向前
向后
返回
,
331212321?
????
????
?=A .
???
??=????????
B 2311351511解
==??A 123123
212034
133
1
例2下列矩阵A , B 是否可逆?若可逆,求出其逆矩阵.
第二章矩阵及其运算
13
73
向前
向后
返回
,
??=??==≠123
34
0344010
010
.
A 可逆所以,
3332
111?==A ∵,
43
12212?=?=A ,53
11
213==
A .
A ,A ,A ,A ,A ,A 341103333231232221?===?===同理可求得
74
向前向后返回?
?
??
??????==∴?
?3323133222123121111
1A A A A A A A A A A A A A .?????=?????????
33
114044513,
?=?=?B 231
13501511
.
B 不可逆故由于75
向前向后
返回
,1302
31
,3512,343122
321????
?
?????=???
???=????????
??=C B A 例3设.
C AXB X =使满足求矩阵解,023
431223
21≠==A ∵,013
51
2≠==
B .
,11都存在??∴B A 76
向前
向后
返回
,???
???=?????????
A 1
132********且,????=?????B 13152C AXB =又由1111????=?CB
A AXB
B A .
11??=?CB A X 于是1
1??=CB A X ????????????=????
?????????????
???132133132352205211131E
77
向前
向后
返回
证明
,022
=??E A A 由()E E A A 2=?得,0≠?A E E
A A
=??2
12
=??E
A A
.
,2,:
,022并求它们的逆矩阵都可逆证明满足方程设方阵E A A E A A A +=??例4??
?????=????????????1131025202.
?????=????????
21104104.可逆故A 1
?A
78
向前
向后
返回
022=??E A A 又由()()0
432=+?+?E E A E A ()()E
E A E A =??
?
?????+?3412.
E A 可逆故2+()()E A E A 34121
??=+?且.
4
3A E ?=().2
1
1E A A ?=
∴?()1
2?+E A (),134
1
2=??+?E A E A
第二章矩阵及其运算
14
79
向前
向后
返回
(),()(),().A B E A E A E B ?????????==+?+?????
??
?1112324567设求()()E B E E A E A ?+=++?1
由，
()())E A E B E A E A E ++=++?=2得，
()()E B E A ???
?????∴+=+=?????
??
?11121232
34解例5(),(),,.
A A
B A E B B ?==+21
1设幂等阵，证明可逆并求(),
A B E B E B E B B E =???=???=?22
32()(),
B B E E B E B ???=??=?11
3232
解80
向前向后返回();
X ??????????
=?????????????
1111232110204211015().X ????????
??????
=???????????????????
1111114233110110015211321211();
X ?????
=?
????????
153211414例6解矩阵方程
81向前
向后
返回
X ?????????????
=???????
????????????
11
1515153214141414得???????????
?????=41231154.
642817???
???????=解
()X ?????
=?
???
?????
153211414给方程两端左乘矩阵,
????
?????1
1514X ???????=?????????1
15321414E
82
向前
向后返回()??????
????
=?????????????
X 1111232110204211015???????
????=????
?????????
X 1
123111************给方程两端右乘矩阵,????
????????
1
111110211得
83
向前
向后
返回
()????????
??????
=???????????????????
X 1111114233110110015211321211.???????????????=??=?????????????????????????1231212
952041112860151324149给方程两端左乘矩阵,????
??
??????
1
11111021184
向前
向后
返回
????????
??????=???????????????????????????
121423131111015121132211152.????
??=????????
137530952212112047??????
????
??????
=???????????????
????
X 1
1
111423111110015110211211321得给方程两端右乘矩阵,????
???
?????1
111110321
第二章矩阵及其运算
15
85向前向后返回???
?
??????=+=?714121,61A BA A BA A 且o
o
.B 求A
BA BA A 61=??()A BA E A 61=???()E
B E A 61=???().
61
1???=?E A B 解
:
,满足关系设三阶矩阵B A 例7，86
向前向后返回1
1000100017000400026???
?????????????????????????????=1
6000300016??????
???
??=????????
??=6100031000
16.100020006?
???
??????=()
1
16???=E A B 87向前向后返回,
0!5≠=A 因由伴随矩阵法得,
1
A A A ??=解
.
1
存在故?A ,.A A ???????
??=????
????11
00000
20000
030000
04
000005已知求例8
88
向前
向后
返回
???????
???????=?????
????????????2345
0000013450001
001245005!0
00123500
0001234.510
004100000310000021000001???????
????????
?=89向前向后返回
四、小结
逆矩阵的概念及运算性质..0≠A 逆矩阵的计算方法
();
21
A
A A ?
?=利用公式逆矩阵存在1?A ?();1待定系数法()().
3下一章介绍初等变换法90
向前
向后
返回
思考题
*******()();()(),();()().
n n kA k A A A
A n A
B B A ??==≥=2
15627?
?,11??====BA Y B YA B A X B AX A 是否有唯一解矩阵方程是否有唯一解
那么矩阵方程可逆若1.2.证明方阵结论：**();();
n A A A A A
??==1
112****()()();()()();
A A A A A A ??′′===1134
第二章矩阵及其运算
16
91向前
向后
返回
.(),(),
01013 n m n m f x a a x a x x b b x b x ?=+++=+++设()()()().
A n f A A A f A ??=为阶方阵，证明:.).
11
4 k k A O E A A
E A ??+++=?设=，证明:92
向前向后返回思考题解答
**.()()()()();
A A AA E
A A A A A A A E A A A A ?????????==?==∴==11111111124答...
A ?1
1是的这是由于的唯一性决定的.()()()().
k l k l l k k l k l l k a A b A a b A b A a A f A A A f A ??+==∴=3∵i i ，.()(),().
k k k E A E A A E A E E A A E A ????+++=?=∴+++=?1114∵ 93向前向后返回第四节矩阵分块法
一、矩阵的分块
二、分块矩阵的运算规则三、小结、思考题
94
向前向后返回一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
A A A 95向前向后返回,321??????????=
B B B ??????
?
???
????=b b a a A 1
10101000001例
??????
????
???
?=A 001a b a 110000b 110???
???????=1B 2B 3B 即
96
向前向后返回?????
?
????
???
?=b b a a
A 110101000001,??
=????
11
122122A A A A ??
?
???=?????
?
????
???
?
=A 1a 11A 0012A 1
0010a
21A b b 110022A 即
第二章矩阵及其运算
17
97向前
向后返回,??=????1
1A O E B (,,,),ααα=124 ???
???????
???
?=b b a a A 1
1
010*******?????
?
????
????=b b a a A 1
10101000001,a A a ??=????
1
10其中,
b B b ??
=????
111.E ??=????1001,O ??
=????
0000,a α??????=??????1010其中,a α??????=??????2101,
b α????
??=??????
300
1.
b α??????=??????400198
向前
向后
返回
=(,,,),
n ααα12 列
n n m m mn a a a a a a A a a a ??
??
?
?=??
??
??
1112121
22212 n n m m mn a a a a a a A a a a ?????
?=??????11
12121
2221
2 =,T T T m βββ??
??
??????????
12
行99
向前
向后
返回
()有
相同的分块法采用
列数相同的行数相同与设矩阵,,,1B A .1
11111
11????
?
???
??++++=+sr sr s s r r B A B A B A B A B A
二、分块矩阵的运算规则
????
?
?????=??????????=sr s r sr s r B B B B B A A A A A
1
1111111,那么
列数相同的行数相同与其中,,ij ij B A 100
向前向后返回.
λλλλλ??
??
=????
?
?r s sr A A A A A 1111 (2)设为数，那么
???
?=??????
r s sr A A A A
A 1111
λ101向前
向后
返回
()分块成
矩阵为矩阵为设,,3n l B l m A ××,,1
111
1
111
????
?
?????=????
?
?????=tr t r st s t B B B B B A A A A A
????
?
?????=sr s r C C C C AB
1
111().
,,1;,,11
r j s i B A C kj
t
k ik ij ===
∑
=其中那么
的行数的列数分别等于其中,,,,,,,2121tj j j it i i B B B A A A 102
向前向后返回(),411?
?????????=sr A A A 设r A 11s A T s A 1T r A 1.11????
??????=T sr T T
A A A
则()是方阵且非零子块都
其余子块都为零矩阵上有非零子块角线
的分块矩阵只有在主对若阶矩阵为设.
,,,5A n A
第二章矩阵及其运算
18
103向前
向后
返回
,21??????
????????=s A A A A
O O .
21s A A A A =分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
