少年我好累第二章矩阵及其运算
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第一章
矩阵
一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、小结、思考题
第二节矩阵及其运算2
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n n n n m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??
??+++=?1111221121122222
1122 1. 线性方程组的解取决于
(),,,;,,,,ij a i m j n ==1212 系数()
,,,i b i m =12 常数项一、矩阵概念的引入
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n n m m mn
m a a a b a a a b a a a b ????????????
11
12112122221
2
对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
2. 某航空公司在A,B,C,D 四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A 到B 有航班,则用带箭头的线连接A 与B.
A
B
C
D
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四城市间的航班图情况常用表格来表示:
发站
到站A
B C D A
B C D
其中表示有航班.
为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上
0,就得到一个数表:
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1111111
00
00这个数表反映了四城市间交通联接情况.
A B C D
A B C D
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二、矩阵的定义
由个数排成的行列的数表
n m ×m n ()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==n n m m mn
a a a a a a a a a 11121212221
2
称为矩阵.简称矩阵.n m ×n m ×记作
第二章矩阵及其运算
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??
?
??
?
?
?
??
??
??=mn m m n n a a a a a a a a a A 11
22221
11211
简记为
()().
ij n m ij n m a a A A ===××()元
的
矩阵n m A ,.
,简称为元的元素个数称为这A n m ×元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.
主对角线副对角线8
向前向后返回例如???????10359643是一个实矩阵,
42×?
????
???
?
?2222222613i 是一个复矩阵,33×????
??????421是一个矩阵,13×()
9532是一个矩阵,
41×()
4是一个矩阵.
11×9
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例如
????
??????2222222613i 是一个3 阶方阵.
几种特殊矩阵
(2)只有一行的矩阵
(),,,,21n a a a A =称为行矩阵(或行向量).
(1)行数与列数都等于的矩阵，称为阶n n A .n A 方阵.也可记作10
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,????
??=??????
n a a B a 12只有一列的矩阵
称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵(或对角阵）.
?????
?
?????
?
??n λλλ 0000002
1（3）形如的方阵,O O 不全为0
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（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零
矩阵记作或.
n m ×m n O ×O 注意().000000
00000000000000≠????
??
???????
?不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如
记作
(),,,.
n A diag λλλΛ==12 12
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(5)方阵
??
??????
??
??==10
001
000
1
n E E 称为单位矩阵（或单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念
O O
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
全为1
第二章矩阵及其运算
3
13向前向后返回2.两个矩阵为同型矩阵,并且
对应元素相等,即
()()ij ij b B a A 与=(),
,,2,1;,,2,1n j m i b a ij ij ===则称矩阵相等,记作B A 与.
B A =例如?
??
????????????????
?9348314736521与为同型矩阵.
14
向前向后返回例1之个变量与个变量m n y y y m x x x n ,,,,,,2121 间的关系式
??????
?+++=+++=+++=.
,,22112222121212121111n mn m m m n n n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y 的
到变量表示一个从变量m n y y y x x x ,,,,,,2121 线性变换.
.
为常数其中ij a 15
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??????
?+++=+++=+++=.
,,
22112222121212121111n mn m m m n n n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y ?????
?
????
????=mn
m m n n a a a a a a a a a A
1
1
22221
11211
系数矩阵16
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线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为???????===n
n x y x y x y ,,2
211称之为恒等变换.
???????===n
n x y x y x y ,,2211对应????
???
???????100010001 单位阵.17向前向后返回线性变换??
?+=?=.
cos sin ,sin cos 11y x y y x x ????对应
??
?
?
???????cos sin sin cos X
Y
O
θ
?
()
y x P ,()
111,y x P 这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.
?18
向前向后返回例2 设
,131
,
213321??
?
?
??=??????=z y x B A .,,,z y x B A 求已知=解
,
B A =∵.
2,3,2===∴z y x
第二章矩阵及其运算
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19向前向后返回三、小结
(1)矩阵的概念??
?
??
?
?
???
????=mn m m n n a a a a a a a a a A 11
22221
11211列的一个数表
行n m 20
向前向后返回(2) 特殊矩阵????
???方阵();
n m =行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;
零矩阵.
.
100
01000
1
???
?
?
??
?
????
??
,
21??????
?
???????=n a a a B (),,,,21n a a a A =????????????
?
?n λλλ 000000
2121向前向后返回思考题
矩阵与行列式的有何区别?
22
向前向后返回思考题解答
矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.
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第二节矩阵的运算
一、矩阵的加法二、数与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵的其它运算五、小结、思考题
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１、定义
??????
?
???
??
??+++++++++=+mn mn
m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A
221
12222
2221
211112
121111一、矩阵的加法
设有两个矩阵那么矩阵与的和记作，规定为
n m ×()(),b B ,a A ij ij ==A B B A +
第二章矩阵及其运算
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说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
例如??????????+????????????
1235189190654368321++?+????=+?++????+++??1213859169504336281.
??
??=???????
1311474468926
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2、矩阵加法的运算规律
();
1A B B A +=+()()().
2C B A C B A ++=++()??
?
?
?
?
?
?????
???????????=?mn m m n n a a a a a a a a a A
1
1
222
21
112113()()(),.
+?=?=+?A A O A B A B 4(),
ij a ?=.
负矩阵的称为矩阵A 27向前向后返回1、定义
.
1
1222
21112
11??
?
?
?
?
?
?????
??==mn m m n n a a a
a a a a a a A A λλλλλλλλλλλ
二、数与矩阵相乘
规定为或的乘积记作与矩阵数,λλλA A A 28
向前向后返回()()()();
λμλμμλ==A A A 1()();2A A A μλμλ+=+()().
3B A B A λλλ+=+2、数乘矩阵的运算规律
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线
性运算.
（设为矩阵，为数）
μλ,n m ×B A 、29
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１、定义
∑=+++==s k kj
ik sj is j i j i ij b a b a b a b a c 1
2211 (),
,,2,1;,2,1n j m i ==并把此乘积记作
.
AB C =三、矩阵与矩阵相乘
设是一个矩阵，
是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中
()ij a A =s m ×()ij b B =n s ×n m ×()ij c C =A B 30
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例１
××?????
=????
???????C 2222242412362
2×??????=16?32?816设
,
A ?????=????????
101211300514?????
?=??
??????
B 0
3
41213111
21例2
?
第二章矩阵及其运算
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故
??????
??
??
?==?????
???????
?
???
C AB 03
410121
2
11
1303
1105141
21.
?
????????
?=解(),
43×=ij a A ∵(),
34×=ij b B ().
33×=∴ij c C 5?6710
26?2?171032
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注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.?????
?????
?
??
?
??106861985123321例如
()???
?
??????123321()132231×+×+×=().
10=不可乘.()??
??=??????321231×××????×××????×××??313233212223111213????=?
????
?36924612333
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２、矩阵乘法的运算规律
()()();1BC A C AB =()(),2AC AB C B A +=+();
CA BA A C B +=+()()()()B A B A AB λλλ==3（其中为数）;
λ();
4A EA AE ==若A 是阶矩阵，则为A 的次幂，即并且()5n k
A k
个
k k
A A A A =,A A A k m k
m +=().
mk k
m A A =()
为正整数k ,m 34
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注意矩阵不满足交换律，即：
,BA AB ≠().
B A AB k k k ≠例设??
=??
????A 1111???=??
???
B 1111则
,
0000??
?
???=AB ,
??=??????
BA 2222.
BA AB ≠故35
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但也有例外，比如设
,
2002???
??
?=A ,
???
=?????
B 1111则有
.
BA AB =?,???=?????AB 2222,???=?????
BA 222236
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例3计算下列乘积：
解(1)
(),
T βα=×+×+×=111123323(),,.T T n A A αβαβ??
????
===??????
??
??
111121
233设，令求()()n T n
T n T
A αβαβαβ?∴==1,T αβ??
??=?????
?1
12132
1233321().
T n T n A βααβ??==113
