少年我好累第二章矩阵及其运算
7
37
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返回
()()??
?
?
????????????????3213332312322211312113212b b b a a a a a a a a a b b b 解,++a b a b a b 121222323??
?
?
?
?????321b b b .
2223223311321122
33322222111b b a b b a b b a b a b a b a +++++=()??
?
?
????????????????321333231232221131211321b b b a a a a a a a a a b b b (,=++a b a b a b 111212313)++a b a b a b 131********
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解
????
?????
???????????=λλλλλλ0010
01
0010012A .0
0201222
2????
?????
?=λλλλ
λ.0
010
01
k A A 求设???
?
????
?
?=λλ
λ例4
39向前向后返回????
?
?????????????
?
?==λλ
λ
λλλλ
λ0
10
01
020
1222
2
23A A A ????
?
????
?=323
2
30
03033λλλλλλ由此归纳出
()()
20
00
211
21
≥??????
?
??????
??=???k k k k k A k
k k
k k k
k λλλλλλ40
向前向后返回用数学归纳法证明当时，显然成立.
2=k 假设时成立，则时，
n k =1+=n k (),
00100100021121
1??????????????????
???
??
??==???+λλλλλλλλ
λn n n n n n n n n n n n A A A 41
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向后
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所以对于任意的都有
k ().0
00
21121
?
?????
?
??????
??=???k k k
k k k k k k k k A λλλλλ
λ()()(),0
0102
111
1
11
????
?
?
???????
?+++=++?+n n
n n n
n n n
n n λ
λλλλλ42
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定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.ΤA A A 例
,
854221??????=A ;
825241?
????
???
??=T A (),
618=B .
618??
?
???=T B １、转置矩阵
四、矩阵的其它运算
第二章矩阵及其运算
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43
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转置矩阵的运算性质
()();
1A A T
T =()();2T T T B A B A +=+()();3T T A A λλ=()().
4T T T A B AB =44
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例5已知
,,???
?????==????????
??
A B 171201423132201().
T AB 求解法1
???
?????=????????
??
AB ∵171201423132201,
???=????0143171310().
????
∴=???????
T
AB 017141331045
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解法2
()T
T T A B AB =????????=??????????????142217*********.??
?
?=????
??
?017141331046
向前向后返回2、方阵的行列式
定义由阶方阵的元素所构成的行列式，
叫做方阵的行列式，记作或n A A A .
det A ?
??
??
?=8632A 例8
63
2=
A 则.2?=运算性质();==T
T
A A A 1();
2A A n λλ=()
,==AB A B BA 3.
≠AB BA 但47
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3、对称阵与伴随矩阵
定义
设为阶方阵，如果满足，即那么称为对称阵.
A n T A A =()
n ,,,j ,i a a ji ij 21==A .
A 为对称阵例如???
?
??????=6010861612.
称为反对称的则矩阵如果A A A T ?=对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.
说明48
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例6
设列矩阵满足()T
n x x x X ,,,21 =,
1=X X T .
,,2,E HH H XX E H n E T T =?=且阵是对称矩
证明阶单位矩阵为证明()T
T T XX E H 2?=∵()
T
T
T XX E 2?=,
2H XX E T =?=.是对称矩阵H ∴2H HH T =()
2
2T XX E ?=()()T T T XX XX XX E 44+?=()T
T T X X X X XX E 44+?=T T XX XX E 44+?=.
E =
第二章矩阵及其运算
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49
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例7证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.n A 证明
T
A A C +=设()T
T T A A C +=则A A T +=,C =所以C 为对称矩阵.,
T A A B ?=设()T
T T A A B ?=则A A T ?=,
B ?=所以B 为反对称矩阵.22T
T
A A A A A ?++=
,2
2B
C +=命题得证.
故50
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定义行列式的各个元素的代数余子式所
构成的如下矩阵
A ij A ???
??
?
?
???
????=?nn n n
n n A A A A A A A A A A 2122212
12111性质.
E A A A AA ==??证明
(),ij a A =设(),ij b AA =?
记则
jn in j i j i ij A a A a A a b +++= 2211,
ij A δ=称为矩阵的伴随矩阵.
A
51
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4、共轭矩阵
定义
当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵.
()ij a A =ij a ij a ()ij a A =A A 故()ij A AA δ=?
()ij A δ=.
E A =同理可得
*
=??
=????
∑n ki kj k A A A a 1()ij A δ=()ij A δ=.
E A =52
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();2A A λλ=().
3B A AB =运算性质
();1B A B A +=+设为复矩阵，为复数,且都是可运算的:
B A ,λ53
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五、小结
矩阵运算
?????????
加法
数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵
对称阵与伴随矩阵方阵的行列式
共轭矩阵
54
向前向后返回（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.
（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能
进行加法运算.
注意
（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.
第二章矩阵及其运算
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55向前向后返回思考题
问等式阶方阵为与设,n B A ()()
B A B A B A ?+=?22成立的充要条件是什么?
56
向前向后返回思考题解答
答
()(),
22B AB BA A B A B A ??+=?+∵故成立的充要条件为
()()B A B A B A ?+=?2
2.
BA AB =57
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第三节逆矩阵
一、概念的引入
二、逆矩阵的概念和性质三、逆矩阵的求法四、小结、思考题
58
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,
111==??a a aa ,
11E A A AA ==??则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.
A 1
?A 一、概念的引入
在数的运算中，当数时，0≠a 有
a a 11=?a 其中为的倒数，a （或称的逆）；
在矩阵的运算中，E 单位阵相当于数的乘法运算中
的1，A 那么，对于矩阵，1?A 如果存在一个矩阵,使得
59
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二、逆矩阵的概念和性质
定义
对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵
则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.
n A ,B ,
E BA AB ==B A n A 使得.
1?A A 的逆矩阵记作例设,,
?????
==?????????
A B 111212111212,
E BA AB ==∵.
的一个逆矩阵是A B ∴60
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说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.
A A 若设和是的可逆矩阵，
B
C A 则有
,
,
E CA AC E BA AB ====可得EB B =()B CA =()AB C =.C CE ==所以的逆矩阵是唯一的,即
A .
1?==A C B
第二章矩阵及其运算
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例
设,01
12
??
?
?
???=A .的逆阵求A 解设是的逆矩阵,??
?
?
??=d c b a
B A 则
?????????????=d c b a AB 01
12?
?
?
???=1001???
?
??=?????
???++?100122b a d b c a 利用待定系数法
62
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返回
??????
?=?=?=+=+?,1,0,02,12b a d b c a ,
,,.
=??=????
=??=?a b c d 0112又因为
???????2110???????0112=???????0112,1001???
???=所以
.
A ????
=????
10112A B
A
B ??????
?211063
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定理1
矩阵可逆的充要条件是，且
,
11??=A A
A A 0≠A 证明若可逆，A .E AA A =??11使即有,11
==??E A
A 故.
0≠A 所以.
的伴随矩阵为矩阵其中A A ?64
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,
0时当≠A ?????
???
?
????=
????
???
?
????
1112111
21121
222122221212
n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A A A a a a A A A A
A a A a A a n n =+++1112121111 A
A a A a A a nn nn n n n n =+++ 2211,??????
???????
?=A A
A
A
O
O
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E A A A AA ==?
?
,
E A A
A A A A ==??
?.1
A
A A ?
?=按逆矩阵的定义得
证毕
.
,0,,0非奇异矩阵称为时当称为奇异矩阵时当A A A A ≠=奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
.
为非奇异矩阵是可逆阵的充要条件是由此可得A A 66
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,
1==?E B A ,
0≠A 故,1存在因而?A 于是
EB B =()B A A 1?=()
AB A 1?=证毕
().
,1?===A B E BA E AB 则或若推论证明
()().
,,11
11A A A A =???且亦可逆则可逆若逆矩阵的运算性质
??==A E A 11
第二章矩阵及其运算
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()
且
可逆则数可逆若,,0,2A A λλ≠()且
亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3AB B A ()()()1
111????=A BB A A B AB 1?=AEA ,
1
E AA ==?().
111
???=∴A B AB 证明
()=?1A B B 1?1
?A ().
111??=A A λ
λ68
向前
向后
返回
()()T
T
T A A A A 11??=∵T E =,E =()().
11
T
T A A ??=∴().,
,0,10k
k A A E A A ??==≠定义
时当另外证明
()
为正整数k ().
1
212??=A A 推广
1A m A 1?m A 1?1A ()()().
,,4A A
A A T =且亦可逆则可逆若T T
1
?1?则()
.
k k A A ??=1
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返回
()
,,
A A A ??=1
15若可逆则有证明E
AA =?1
∵1
1=∴?A A .
.下略因此1
1??=A A 有
为整数时当,,,0μλ≠A ,
μλμλ+=A A A ().
λμμλA A =()().
k k k
k k A A
A A A ?????===1
