(甘志国)先解决一个问题,再解决一串问题(2)

为m， l Om arccoscos

cos2，另一条就是n； ⑤又90

2 90 时，所求的直线为4条，且其中2条在a,b确定的平面 内的

射影均为m， l Om arccoscos

cos2，另2条在a,b确定的平面 内的射影均为n，

l On arccoscos

sin2；

⑥又 90 时，所求的直线为1条，即 的过点O的垂线.

(2)当 90 时：

①又0 45 时，所求的直线为0条；

②又 45 ，所求的直线为2条，即m,n；

③又45 90 时，所求的直线为4条，且其中2条在a,b确定的平面 内的射影

均为m

， l Om )，另2条在a,b确定的平面 内的射影均为n

，

l On )；

④又 90 时，所求的直线为1条，即 的过点O的垂线.

证明 由全日制普通高级中学教科书(必修)《数学·第二册(下B)》(2006年人民教育出

版社，第2版)(下简称《教科书第二册(下B)》)第28页第6题“从一个角的顶点引这个角

所在平面的斜射线，设它和已知角两边的夹角为锐角且相等，求证这条斜射线在平面内的射

影是这个角的平分线”的结论知，l 在 内的射影为m或n(包括l 的情形).

若过点O的直线l 在 内的射影为m，由《教科书第二册(下B)》)第48页的公式

“cos cos 1cos 2”，得cos l Om cos mOa cos l Oa(当Ol 与Om重合时也成

立). 又 mOa

2(定值)，所以 l Oa随 l Om的增大而增大，且 l Oa

2(当且仅当

Ol 与Om重合时取等号). 并注意

2 90

2，可得欲证成立.

问题1是一个常见问题，高中师生应当都很清楚.下面由这个问题的解决再来解决下面

的一串问题.

问题2 若直线a,b成 角( 是定值，有0 90 )，则过空间一定点P与a,b均

成90 (0 90 90 )角的平面有且仅有几个？