(甘志国)先解决一个问题,再解决一串问题

先解决一个问题，再解决一串问题

甘志国(该文已发表 数学教学，2012(9)：35-37)

两条异面直线所成的角是锐角或直角.本文中还规定：两条相交直线所成的角指它们相

交所成的四个角中的较小者，所以也是锐角或直角；当两条直线平行或重合时，它们所成的

角是0 .所以空间两直线(包括重合的情形)所成角的范围是[0 ,90 ].空间的一条直线与一个

平面所成角的范围也是[0 ,90 ].本文中又规定：两个相交平面所成的角指它们相交所成的

四个二面角中的较小者，所以也是锐角或直角，两个相交平面所成角的范围是(0 ,90 ].

问题1 若直线a,b成 角( 是定值，有0 90 )，则过空间一定点P与a,b均

成 (0 90 )角的直线有且仅有几条？

图1

答案 可不妨设a b O，这是不会影响本题的答案的.如图1，设过点O的直线l 与

a,b均成 角，又过点P作直线l//l (则l存在且唯一)，则l与a,b也均成 角，所以问题

1等价于“过点O与a,b均成 角的直线l 有且仅有几条”.又设a,b所成的角及其补角的平

分线所在的直线分别为m,n(有m n).得问题1的答案是：

(1)当0 90 时： ①又0

②又

③又 2时，所求的直线为0条； 2，所求的直线为1条，即a,b所成锐角的角平分线所在的直线；

2 90

为m， l Om arccos2cos 时，所求的直线为2条，且它们在a,b确定的平面 内的射影均

cos

④又 90 2；

2时，所求的直线为3条，且其中2条在a,b确定的平面 内的射影均