柒夏（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）证明1：因为平面PAC
平面ABC，平面PA
C 平面ABC AC， PD 平面PAC，
PD AC，
所以PD 平面ABC．…………………………………………………………………………………1分
记AC边上的中点为E，在△
ABC中，AB BC，所以BE AC．
因为AB BC 分
因为PD AC，所以△PCD为直角三角形．
因为PD 所以PC
CD
3，
AC 4，所以BE
3
4分
连接RBE
所以BD
5分
因为PD 平面ABC，BD 平面ABC，所以PD
BD． 在Rt△PB
D中，因为PD
所以PB
BD
6分
在 PBC中，因为BC 所以BC PB PC．
2
2
2
PB PC 所以 PBC
为直角三角形．……………………………………………………7分
证明2：因为平面PAC 平面
ABC，平面PAC
I平面ABC AC， PD 平面PAC，
PD AC，
所以PD 平面ABC．……………………………………………………1分 记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB
BC，所以BE AC． 因为AB BC 分
o
连接BD，在Rt△BDE中，因为 BED 90，BE
AC
4，所以BE
3
，DE 1，
所以
BD
4分
在△BCD中，因为CD
3，BC
2
2
2
BD
所以BC BD CD，所以BC BD．………………………………………5分 因为PD 平面ABC，BC 平面ABC，
所以BC PD．…………………………………………………………6分 因为BD PD D，所以BC 平面PBD．
因为PB 平面PBD，所以BC PB．
所以 PBC为直角三角形．……………………………………………………7分
（2）解法1：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，
则 APH为直线AP与平面PBC所成的角．…………………………………8分
由（1）知，△ABC
的面积S ABC
13
12
AC BE ．…………………9分
因为PD 分
，所以VP ABC
S ABC PD
13
3
．…………………………10
由（1）知 PBC
为直角三角形，BC
P
PBCPB ，
因为三棱锥A PBCP ABA PBC VP ABC，
1
33即 3
AH
3
，所以AH ．……………………………………12分
在Rt△PA
D中，因为PD 所以
AP
AD 1，
32
2．………………………………13分
因为sin APH
AHAP
3
．
所以直线AP与平面PBC
3
．…………………………………………………14
分
解法2：过点D作DM∥AP，设DM PC M，
则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的角．……………………………………8
P分
M 由（1）知BC PD，BC PB，且PD PB P， 所以BC 平面PBD．
因为BC 平面PBC，
所以平面PBC 平面PBD．
过点D作DN PB于点N，连接MN， 则DN 平面PBC．
所以 DMN为直线DM与平面PBC所成的角．……10分 在Rt△PAD
中，因为PD 所以
AP
AD 1，
DMAP
CDCA
2．……………………………………11分因为DM2
34
DM∥AP，所以
，即，所以DM
32
．………………………………12分
由（
1）知BD
，PB
PD
所以DN
PD BD
PB
2
．……………………………………13分
因为sin DMN
DNDE
32
3
，
所以直线AP与平面PBC
3
．…………………………………………………14
分
解法CGBGBG8分 在△PC
G中，PB BG BC
o
P
所以 CPG 90，即CP PG．
K在△PA
C中，因为PC PA 2，AC
4，
A
E
D
B
C
所以PA PC AC， 所以CP PA． 因为PAIPG P，
G
222
所以CP 平面PAG．…………………………………………………………………………………9分 过点A作AK PG于点K， 因为AK 平面PAG， 所以CP AK． 因为PGICP P，
所以AK 平面PCG．
所以 APK为直线AP与平面PBC所成的角．……………………………………………………11分
