童话幻灭应该指出，当样本容量N变化范围较大时，求最佳样本容量N的计算量较大。在实际应用中，一般用计算机编程计算。另外，也可以用几何描点法寻求N近似解。先找出一些有代表性的N值，计算出响应的ENSI（N）和CS（N）值，并求出对应的ENGS（N）值，用描点法分别绘出相应曲线。在曲线ENGS（N）上，找出最大值所对应的样本容量，即最佳样本容量N的近似值。（见下图）
*
*
*
EVPI EVSI（N）
NCS（N） *ENGS（N）
第四节 贝叶斯风险和贝叶斯原则
一．决策法则
在前面我们已经讨论了贝叶斯决策的基本方法。其基本思路是用补充信息修正先验分布，依据后验分布决策，选择最满意方案。当补充信息值确定后，通过适当的方法确定对应的最满意行动方案。这种过程，实际上就是一种补充信息值对应最满意行动方案的法则。一般地，从补充信息值τ（或H）的集合到行动方案a的集合的单值对应称为决策法则。记作
a=δ（τ） 或 a=δ（H）
例如，在例4-1中，补充信息值集{H1，H2}到行动方案集{a1，a2}的对应法则共有22=4个，即
δ1（H）=a1 当H=H1 或H=H2
δ2（H）=??a1，当H?H1?a2，当H?H2
?a2，当H?H1 δ3（H）=?
a，当H?H2?1 δ4（H）=a2，当H=H1或H=H2
一般地，若某决策问题有m个行动方案，n个补充信息值，则决策法则共有m个。
n
82
在这m个法则中，通过某一原则，选出其中最佳者，称为最佳决策法则。 二．贝叶斯风险
设决策法则δ（τ），对于状态变量θ的任一值。当补充信息值τ确定后，行动方案a=δ（τ）也就随之确定，则对应的损失值为R（δ（τ），θ）。显然，损失值越小，决策法则越优。为了给出一个评价决策法则δ优劣的标准，对任一状态变量值θ，取损失值R（δ（τ），θ）对所有补充信息值τ的数学期望，作为评价指标。在状态值θ下，损失值R（δ（τ），θ）对补充信息值τ的数学期望，称为决策法则δ的风险函数，记作
ρ（δ，θ）=Eτ|θ[R（δ（τ），θ）] （4-22） 类似地，在抽样信息情况下，风险函数可以记为
ρ（δ，θ）=EX|θ[R（δ（X），θ）] （4-23）
这表示风险函数ρ（δ，θ）仍是在状态值θ下，决策法则δ对全部补充信息值的平均损失。
风险函数ρ（δ，θ）仍是状态变量θ的函数。一个最佳决策法则，应该对于所有状态值θ，其平均风险函数值最小。为此，引入贝叶斯风险的概念。
设决策法则δ，风险函数ρ（δ，θ）对状态θ的数学期望，称为决策法则δ的贝叶斯风险，记作
B（δ）=Eθ[ρ（δ，θ）] （4-24） 应该指出，贝叶斯风险B（δ）是一个常数，表示决策法则δ，对一切补充信息值τ和状态值θ的平均损失值。
三．贝叶斯原则
以贝叶斯风险作为评价决策法则优劣的原则，称为贝叶斯原则。在贝叶斯原则下，贝叶斯风险最小的决策法则称为最佳决策法则。
下面，通过实例说明贝叶斯风险和贝叶斯原则。
【例4-8】在例4-1中，试求各决策法则的贝叶斯风险以及贝叶斯原则下的最佳决策法则。
解：如前所述，该问题有四个决策法则，即δk（H）（k=1，2，3，4），其损失矩阵
R=（rij）2?2=??n
5000??0? ??150000?并且，有
P（θ1）=0.8 P（θ2）=0.2 P（H1|θ1）=0.95 ， P（H1|θ1）=0.05 P（H1|θ2）=0.10 ， P（H2|θ2）=0.90 对于决策法则
δ1（H）=a1 当H=H1 或H=H2时 风险函数
ρ（δ1，θ1） = EH|θ1[R（δ1（τ），θ1）]= EH|θ1 [R（a1，θ1）] =R（a1，θ1）P（H1|θ1）+ R（a1，θ1）P（H2|θ1） =0 ? 0.95+0 ? 0.05=0
ρ（δ1，θ2） = EH|θ2[R（δ1（τ），θ2）]= EH|θ2 [R（a1，θ2）]
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=R（a1，θ2）P（H1|θ2）+ R（a1，θ2）P（H2|θ2） =5000 ? 0.10+5000 ? 0.90=5000
于是，由公式（4-24），则决策法则δ1的贝叶斯风险
B（δ1）=Eθ[ρ（δ1，θ）]
=ρ（δ1，θ1）P（θ1）+ρ（δ1，θ2）P（θ2）
=0 ? 0.8+5000 ? 0.2=1000
同样可以计算其余决策法则δ1，δ2，δ
δ2（H）=?对于
δ3（H）=?3
的贝叶斯风险。对于
?a1，当H?H1?a2，当H?H2?a2，当H?H1?a1，当H?H2 有B（δ2）=700
有B（δ3）=12300
对于
δ4（H）=a2，当H=H1或H=H2，有B（δ4）=12000
则
min{B（δ1），B（δ2），B（δ3），B（δ4）}= B（δ2）=700
因此，贝叶斯原则下最佳决策法为δ2，即当市场预测畅销时经营该产品，当市场预测滞销时不经营该产品。这与例4-1贝叶斯决策的结论完全一致。
最后，我们要指出，可以证明，贝叶斯决策所得到的决策法则，就是贝叶斯原则下的最佳决策法则，并且，最佳决策法则的贝叶斯风险等于后验完全信息价值，即 B（δopt）=后验EVPI
=Eτ{Eθ|τ[R（a（τ），θ）]}
其中，δopt表示贝叶斯原则下的最佳决策法则。由公式（4-15）推知，δopt的贝叶斯风险也可
以用完全信息值与补充信息价值之差计算，即
B（δopt）=EVPI - EVAI
参考资料： 1． 彭勇行。《管理决策分析》。科学出版社，2000 2． 胡永宏，贺思辉。《综合评价方法》。科学出版社，2000
习题四：
1． 某厂家试制某新产品准备投产。有两种可行方案，大批量投产（a1）和不投产（a2）。
根据统计资料，新产品的销售状态和收益如表4-4。由于滞销亏损较大，厂家考虑采取试销法，试销费用60万元。根据过去资料，试销对市场情况估计的可靠程度如表4-5。对此问题：
84
1作出贝叶斯决策分析，并画出决策树图。 ○
2求出EVPI和EVAI。 ○ qij θj ai a1 a2 P(Hi|θj) θj Hi H1（畅销） H2（一般） H3(滞销) θ1（畅销） P（θ1）=0.25 15 0 θ1（畅销） 0.65 0.25 0.10 θ2（一般） P（θ2）=0.30 1 0 θ2（一般） 0.25 0.45 0.30 θ3（滞销） P（θ3）=0.45 -6 0 θ3（滞销） 0.10 0.15 0.75 表4-4 2． 某公司经营某种商品，可以采取的经营方案有三种：a1（大批量），a2（中批量），a3（小批量）。市场销售状态有三种：θ1（畅销），θ2（一般），θ3（滞销），其收益矩阵（单位：万元）为
?10030?60??? Q=（qij）3?3=50 40 ?20 ????1096?? 已知市场销售状态概率P（θ1）=0.2，P（θ2）=0.5，P（θ3）=0.3。该公司通过进行市
场预测，其似然分布矩阵为
P（Hi|θ1） P（Hi|θ2） P（Hi|θ3）
H1 H2
H30.02?0.20?0.80?0.15 ? 0.08 0.70???0.90?0.10?0.05?其中H1，H2，H3分别表示预测值畅销，一般，滞销。市场预测费用为5万元。对此问题：
1 计算EVPI。 ○
2 计算EVAI，并判断是否进行市场预测。 ○
3 画出决策树。 ○
3． 有两类外表相同的盒子。甲类盒子只有一个，其中装有80个红球，20个白球；乙类盒
子共有三个，每个盒子装有20个红球，80个白球。今从中任取一盒，请猜是哪类盒子。猜中得1元，不中不得钱。如果允许从盒子中取出一个球观察
1 试进行抽样贝叶斯决策； ○
2 计算EVSI。 ○
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