第四章 贝叶斯决策分析

第四章 贝叶斯决策分析

前面所讨论过的风险型决策，其基本方法是将状态变量视为随机变量，用先验状态分布表示状态变量的概率分布，用期望值准则计算方案的满意程度。由于先验状态分布与实际情况存在一定误差，为了提高决策质量，需要通过市场调查，收集有关状态变量的补充信息，对先验分布进行修正，用后验状态分布进行决策，这就是本章将要介绍的贝叶斯决策。

第一节 贝叶斯决策的基本方法

一．贝叶斯决策的意义

在管理决策的实际过程中，往往有两种偏向。一是缺乏市场调查，对状态变量概率分布情况的掌握和分析还十分粗略，就匆忙进行决策分析，使得决策结果与市场现实的出入过大，造成决策失误；二是市场调查费用过高，收集的信息没有给企业带来应有的效益。

所以既要充分重视信息对决策的价值，同时也要注意信息自身的价值，少花钱多办事。只有将两者合理的结合起来，才能提高决策分析的科学性和效益性。如何将两者有机的结合也就是贝叶斯决策所要解决的问题。

在讨论贝叶斯决策方法之前，我们先来回顾在概率统计中学过的全概率公式和贝叶斯公式。

…………

1． 离散情况：设有完备事件组{}，（j=1，2，，n），满足条件θi?θj=Ф（i，j=1，2，，

n；i ? j ），且为

P（H）=

，（P（?） > 0） （4-1） ?P（H|?）P（?）jjn??j?1nj=?，对任一随机事件H，其全概率公式和贝叶斯公式分别

jj?1P（H|?i）P（?i） P（θi|H）= P（H）P（H|?i）P（?i） =

?j?1n（i=1，2，，n；P（H）>0） （4-2） P（H|?）P（?） ，

jj。。。

2． 连续情况：设随机变量θ的概率密度为p(θ),则对一随机变量τ，有

h（τ）= k（θ| τ）= =

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??????（?|?）P（?）d? （4-3）

?（?|?）P（?）

h（?）?（?|?）P（?）??????（?|?）P（?）d? （h（τ）> 0） （4-4）

利用补充信息休整先验状态概率分布，这是贝叶斯决策的关键，下面是一个实例。 【例4-1】某公司经营一种高科技产品，若市场畅销，可获利1万5千元；若市场滞销将亏损5千元。根据历年的市场销售资料，这产品畅销的概率为0.8，滞销的概率为0.2，为了准确的掌握该产品的市场销售情况，准备聘请某咨询公司进行市场调查和分析，该咨询公司对该产品畅销预测的准备率为0.95，滞销预测的准确率为0.90。试根据市场咨询分析结果，该公司经营该产品应如何决策？

解：设有两种方案，即经营方案（a1）,不经营方案（a2），该产品的市场销售也有两种状态，即畅销（θ1），滞销（θ2）。状态变量θ的先验分布为

P（θ1）=0.8，P（θ2）=0.2

根据题意，该公司的收益矩阵为

Q =（qij）2?2

= ???15000?5000?? ?0?0?于是，由风险型决策的期望结果值准则，

E（a1）=

?qj?1221j=15000 ?0.8 +（-5000）?0.2=11000（元） P（?j） E（a2）=

?qj?12j=0 P（?j）因此，按状态变量的先验分布进行决策，最满意的行动方案为a1，即由于

E（a1）>E（a2） a1 ? a2 故有 aopt =a1

这表示，不论市场状态是畅销或滞销，应该作出经营该产品的决策。

如果补充市场调查分析的信息，应该如何决策？根据市场预测的准确率，即在实际状态值θj(j=1,2)的条件下，预测值Hi（i=1,2）的条件概率P（Hi|θj）。这里预测值H1表示预测市场畅销，H2表示预测市场滞销，据题意，有

P（H1|θ1）=0.95 P（H2|θ1）=0.05 P（H1|θ2）=0.10 P（H2|θ2）=0.90

市场预测的准确率可以表示为矩阵

P（Hi|θ1） P（Hi|θ2）

H1H2 ???0.950.10?? ??0.050.90?由全概率公式（4-1），咨询公司预测该产品的畅销和滞销概率分别为

P（H1）=

?P（Hj?1221=0.95 ?0.8 + 0.10 ?0.2 = 0.78 |?j）P（?j） P（H2）=

?P（Hj?12= 0.05 ?0.8 + 0.90 ?0.2 = 0.22 |?j）P（?j）68

由贝叶斯公式（4-2），可得

P（θ1|H1）=

P（H1|?1）P（?1）0.95?0.8==0.9744

0.78P（H1）P（H1|?2）P（?2）0.10?0.2==0.0256

0.78P（H1）P（H2|?1）P（?1）0.05?0.8==0.1818

0.22P（H2）P（H2|?2）P（?2）0.90?0.2==0.8182

0.22P（H2） P（θ2|H1）=

P（θ1|H2）=

P（θ2|H2）=

用补充信息（市场预测）对状态变量（畅销或滞销）的先验分布进行修正，得到的状态变量的概率分布称为后验分布，后验分布表示为矩阵，称为后验分布矩阵，即

P（θ1|H i） P（θ2| Hi）

?0.97440.0256? ??0.1818 0.8182?? H2??当市场预测为畅销时，即事件H1发生，用P（θ1|H1），P（θ2|H1）代替P（θ1），P（θ2），再

计算方案a1，a2的期望收益值

E（a1|H1）=

H1?P（?j?12j|H1）q1j

= 0.9744 ?15000 – 0.0256 ?5000 =14487.2（元） E（a2|H1）=

?P（?j?12j|H1）q2j=0（元）

于是，a（H1）=a1，表示当预测值H1发生时，最满意方案为经营该产品。 当市场预测为滞销时，即事件H2发生，用P（θ1|H1），P（θ2|H1）代替P（θ1），P（θ2），计算方案a1，a2的期望收益值，即

E（a1|H2）=

?P（?j?12j|H2）q1j

=0.1818 ? 15000 – 0.8182 ? 5000 = -1364元

E（a2|H2）=

?P（?j?12j|H2）q2j

= 0元

此时，a（H2）=a2，表示预测为H2时，最满意方案为不经营该产品。

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从例1我们可以看出，贝叶斯决策就是通过市场调查分析获取补充信息，利用补充信息修正状态变量的先验分布，依据风险型决策的期望值准则，用后验分布替代先验分布，使得更符合实际情况，从而作出决策，找到最满意方案，提高决策的科学性和效益性。

二．贝叶斯决策的基本方法

设风险型决策问题（Ω，A，F）的状态变量为θ，通过市场调查分析所获取的补充信息，用已发生的随机事件H或已取值的随机变量τ表示，称H或τ为信息值。信息值的可靠程度用在θ的条件下，信息值H的条件分布P（H|θ）表示，在离散的情况下，θ取n个值θj（j=1,2,….,n）,H取m个值Hi(i=1,2,….,m),则条件分布矩阵

?P（H1|?1）P（H1|?2）??P（H2|?1）P（H2|?2）?????P（H|?）P（H|?）?m1m2?P（H1|?n）?P（H2|?n）

???P（Hm|?n）???? ???

称为贝叶斯决策的似然分布矩阵，它完整的描述了在不同状态值θj的条件下，信息值Hi 的可靠程度。贝叶斯决策基本方法是，利用市场调查获取的补充信息值H或τ，去修正状态变量θ的先验分布。经过修正的状态变量θ的分布，称为后验分布，后验分布能够更准确的表示状态变量实际的分布情况，再利用后验分布对风险性决策问题（Ω，A，F）作出决策分析，并测算信息的价值和比较信息的成本，从而提高决策的科学性和效益性。贝叶斯决策的关键，在于依据似然分布用贝叶斯公式求出后验分布。贝叶斯决策的基本步骤如下：

1． 验前分析：依据时常历年的统计数据和资料，决策分析人员按照自身的经验和判断，

应用状态分析方法测算和估计状态变量的先验分布，并计算各可行方案在不同自然状态下的条件结果值。利用这些信息，根据某种决策准则，对各可行方案进行评价和选择，找出最满意方案，称之为验前分析。由于依据先验分布进行决策，故称为验前分析。如果客观条件限制，例如时间，人力，物力和财力等条件限制，不可能更充分的进行市场调查收集信息，决策分析人员仅能完成验前分析这一步骤。 2． 预验分析：如果决策问题十分重要，而且各条件允许，应该考虑是否进行市场调查

和补充收集新信息，决策分析人员要对补充信息可能给企业带来的效益和所花费的成本进行权衡分析，如果信息的价值高于信息的成本，则应当补充信息，反之则补充信息大可不必。这种比较分析补充信息的价值和成本的过程，称为预验分析，如果获得补充信息的费用很小，本步骤可以省略，直接进行调查和收集信息。

3． 验后分析：经过前两个步骤，决策分析人员作出补充信息的决定，并通过市场调查

和分析补充信息，为验后分析做准备，验后分析的关键是利用补充信息修正先验分布，得到更加符合市场实际的后验分布。再利用后验分布进行决策分析，选出最满意的可行方案，并对信息的价值和成本做对比分析，对决策分析的经济效益情况做出合理的说明，验后分析和预验分析一样，都是通过贝叶斯公式修正先验分布，两者不同之处在于，预验分布是依据可能的调查结果，侧重于判断是否补充信息，验后分析是根据实际调查结果，侧重于选出最满意方案。

4． 序贯分析：社会经济实际中的决策问题，情况都比较复杂，可适当的将决策分析全

过程划分为若干阶段，每一阶段都包括先验分析，预验分析和验后分析等步骤。这样多阶段相互连接，前阶段决策结果是后阶段决策的条件，形成决策分析全过程，称之为序贯决策。

下面通过实例来说明该基本方法。

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【例4-2】为开发某种新产品，某企业需要更新设备，有三种方案可供选择，即引进大型设备（a1），引进中型设备（a2），引进小型设备（a3），市场对该新产品的需求状态也有三种，即需求量大（θ1），一般（θ2），小（θ3），根据市场预测，三种方案在三种不同的市场需求状态下，企业的效益用收益矩阵表示为

?5020?20? Q=（qij）3?3 =?3025?10

?101010???? ??其中，qij（i，j=1，2，3）表示方案aj在需求状态下θj下的收益值。根据历年资料 ，该产品各需求状态的概率分别为P（θ1）=0.3，P（θ2）=0.4，P（θ3）=0.3，为使新产品开发产销对路，该企业利用试销法做市场调查，在市场需求状态θj 的条件下，调查结果值Hi 的条件概率P（Hi|θj）如表4-1所示，H1,H2,H3分别表示需求量大，需求量一般，需求量小。试对该企业新产品开发方案进行决策。 P（Hj|θj） θj Hi H1 H1 H1 θ1 0.6 0.3 0.1 θ2 0.2 0.5 0.3 0.2 0.2 0.6 θ3 表4-1 解：

1． 验前分析：

设本问题的收益矩阵为Q=（qij）3?3

验前状态概率向量 P=（p1，p2，p3）T =（0.3 ，0.4，0.3）T 行动方案向量 A=（a1，a2，a3）T 可得E（A）=QP=（17，16，10）T 因此 a1 >a2 >a3 所以 aopt=a1

即投资引进大型设备，且最大期望收益值E1=17（万元）

2． 预验分析：

由全概率公式，分别求出各需求状态调查结果值Hi 的概率，即

P（H1）=

?P（Hj?131 |?j）P（?j） =0.3 ? 0.6 + 0.4 ?0.2 +0.3 ?0.2

=0.32

P（H2）=0.35 P（H3）=0.33 再由贝叶斯公式（4-2）及似然分布矩阵数据，分别计算

P（H1|?1）P（?1） P（θ1|H1）==0.56 P（H1） 同理可得

P（θ2|H1）=0.25 P（θ3|H1）=0.19 P（θ1|H2）=0.26 P（θ2|H2）=0.57

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