童话幻灭方案期望损失值的减少量。
下面由公式（4-12）推出（4-13）
EVSI={ E? [EΘ|?maxQ（a，θ）] –E[Q（aopt，θ）]}
a - { E? [EΘ|?maxQ（a，θ）] - E? [EΘ|?Q（a（τ），θ）]}
a = {E[maxQ（a，θ）] –E[Q（aopt，θ）]}
a - E?{ EΘ|?[maxQ（a，θ）- Q（a（τ），θ）]}
a = E[R（aopt ，θ）-Eτ{Eθ|τ [R（a（τ），θ）]} 通过一个实例来说明补充信息价值计算公式的应用。
【例4-5】试计算例4-1中咨询公司提供的补充信息价值。 解：由公式（4-12），咨询公司提供的补充信息价值 EVAI=Eτ{EΘ|τ[Q（ a(τ),θ)]}-E(aopt) 并由上一节例1可知
E(aopt)=E(a1)=11000(元)
a(H1) =a1 ， a(H2) =a2
于是，
E?{EΘ|? [Q（a(τ),θ)]}
=
?{?Q（a（H），?）P（?iji?1j?122j |Hi）}P（Hi） = {?Q（a，?）P（?1jj?122j2j |H1）}P（H1） + {?Q（a，?）P（?j?1j |H2）}P（H2） =14487.2 ? 0.78 + 0 ? 0.22
=11300（元） 因此，
EVAI=11300-11100=300（元）
三．补充信息价值与完全信息价值的关系
上面，我们介绍了完全信息和补充信息及其价值，这两者之间有什么关系？从它们的定义和计算公式不难证明，任何补充信息价值都是非负的，且不超过完全信息价值，即
EVPI ? EVAI ? 0 （4-14） 事实上，由（4-13）可知
EVAI=E[R（aopt ，θ）-Eτ{Eθ|τ [R（a（τ），θ）]} 由4-6式，得
EVPI= E[maxQ（a，θ）] – E[Q（aopt，θ）]
a 77
=E[R（aopt，θ）]
于是，
EVAI=EVPI- Eτ{Eθ|τ [R（a（τ），θ）]} （4-15）
上式右边两项均非负，且第一项显然不小于第二项，因此，有 EVPI ? EVAI ? 0
（4-14）式告诉我们，信息价值对于管理决策具有普遍意义，任何补充信息不会降低决策方案的经济效益，完全信息是一类特殊的补充信息，它是最有价值的信息。同时，这也从理论上说明，信息工作是科学决策十分重要不可缺少的环节。
第三节. 抽样贝叶斯决策
由前知道，贝叶斯决策的关键是利用补充信息修正先验分布，使后验分布更加符合市场
实际，从而提高决策质量。那么，获取补充信息主要途径是什么？这是本节所要讨论的内容。在管理决策中，最常用获取补充信息的方法是抽样，用抽样方法修正先验分布的决策，称做抽样贝叶斯决策。
一. 抽样贝叶斯决策的基本方法
1.抽样贝叶斯决策的意义
设（ε1，ε2,....,εN）为来自决策总体ε的随机样本，为描述总体ε的性质，选择一个适当的统计量X，称为决策统计量。在状态变量θ固定的条件下，决策统计量X取值称为抽样信息值。利用抽样信息值作为补充信息值，去修正状态变量的先验分布，得到后验分布，再依据后验分布进行的贝叶斯决策，称为抽样贝叶斯决策。
2． 抽样贝叶斯决策的步骤
抽样贝叶斯决策除了补充信息是靠抽样方法获取之外，其基本方法和步骤与一般贝叶斯决策相同，即按照验前分析，预验分析，验后分析和序贯分析四步骤进行。在多数情况下，抽样分布可以应用数理统计中的二项分布计算，根据不同条件，也可以应用泊松分布，正态分布等其它分布计算。
【例4-6】设某公司的一条生产线成批的生产某种零件，每批为800件。现将零件组装成仪器，根据过去的统计资料分析，零件的次品率及其相应的概率如表4-2。
表4-2 状态θj（次品率） 概率P（θj） θ1=0.02 0.40 θ2=0.05 0.30 θ3=0.10 0.15 θ4=0.15 0.10 θ5=0.20 0.05 若组装成仪器调试时，发现次品零件则需要更换，每件更换的改装费为15元。若采取某种技术措施，可使每批零件的次品率降到最低为0.02，但每批要花费技术改造费500元，进行技术改造之后，采取抽样检验，抽取20个零件，发现一个次品。试对该公司是否应该采取技术改造措施作出决策分析。
解：先进行验前分析，设a1，a2分别表示不采取和采取技术措施，先验状态变量的概率向量为
P=（0.40，0.30，0.15，0.10，0.05）T 由题设给出的条件，方案a1在各状态下的收益值
。。。。
Q（a1，θj）=q1j=-15 ? 800θj ，（j=1，2，，5）
方案a2在各状态下的收益值
Q（a2，θj）=q2j =-15?800?0.02-500
78
=-740（j=1，2，，5） 于是，收益矩阵
Q=（qij）2?5 =??相应的损失矩阵
。。。。
??240?600?1200?1800?2400?? ???740?740?740?740?740?046010601660??0? R=（rij）2?5 =?? ?500140000??方案a1，a2的期望损失值 E[R（a1，θ）]=
5?rj?151j=0 ? 0.4 + 0 ? 0.3 + 460 ? 0.15 P（?j） + 1060 ? 0.10 + 1660 ? 0.05 =258 E[R（a2，θ）]=
?rj?12j= 242 P（?j）因此，验前最满意行动方案aopt=a2，即采取技术措施。
再进行预验分析。利用二项分布计算抽样分布，设统计量X表示抽取20个零件中发现次品的个数，“X=1”表示抽取20个零件中发现一个次品，由数理统计知识计算条件概率。例如，当p（θ2）=0.05时，条件概率
P（X=1|θ2）=20?0.05?（0.95）19=0.3773 同样，可求出其余状态下的条件概率 P（X=1|θj），（j=1，3，4，5）
将上述结果代入后验概率计算表4-3的第（3）列，再计算各状态下的概率乘积 P（θj）P（X=1|θj），（j=1，2，3，4，5）
例如，P（θ2）P（X=1|θ2）=0.30*0.3773=0.11319，并将结果置于表4-3的第（4）列。于是，由全概率公式可得P（X=1）=0.27927
而后验概率
P（θj|X=1）= P（θj）P（X=1|θj）/P（X=1） 求出所有状态下的后验概率，并置于第（5）列。
因此，方案a1和a2的期望损失值
Eθ|X=1[R（a1，θ）]=
?rj?151j P（?j|X?1） =0 ?0.3903 +0 ? 0.4053 + 460 ? 0.14509 +1060 ? 0.04899
+ 1660 ? 0.01031 = 135.79 Eθ|X=1[R（a2，θ）]=
?rj?152j P（?j|X?1） =251.89
由此可知，验后最满意方案a（H=1）=a1，即不采取技术措施，其结论与验前分析相反。 表4-3
79
（1） 次品率 θj 0.02 0.05 0.10 0.15 0.20 ? （2）验前概率 P（θj） 0.40 0.30 0.15 0.10 0.05 1.00 （3）条件概率 P（X=1|θj） 0.2725 0.3773 0.2701 0.1368 0.0577 —— （4）概率乘积 （5）后验概率 P（θj）P（X=1|θj） P（θj|X=1） 0.10900 0.11319 0.04052 0.01368 0.00288 0.39030 0.40531 0.14509 0.04899 0.01031 P(X=1)=0.27927 1.00000 二．抽样信息的价值（EVSI）
用抽样方法得到的信息，其价值称为抽样信息价值（Expected Value of Sampling Information）,记为EVSI。
由补充信息价值计算公式，容易推出抽样信息价值的计算公式，也有三种形式： 1）EVSI= EX{Eθ|X[Q（a（X），θ）- Q（aopt，θ）]} （4-16）
其中，X表示抽样信息值，a（X）表示掌握了抽样信息值X后的最满意行动方案，公式表示抽样信息价值等于全部抽样信息值的价值的期望收益值，是按其定义进行计算的。
2） EVSI= EX{Eθ|X[Q（a（X），θ）]} - E（aopt） （4-17）
公式表示，抽样信息价值等于掌握了抽样信息前后期望收益值的增加量。 3） EVSI= E[R（aopt，θ）] - EX{Eθ|X[R（a（X），θ）]} （4-18）
公式表示，抽样信息价值等于掌握了抽样信息前后期望损失值的减少量。
下面，通过实例说明EVSI计算公式的应用。
【例4-7】试计算例4-6中技术改造决策问题的抽样信息价值。
解：由公式（4-18），根据前面例子的计算结果知，aopt=a2 ，于是， E[R（aopt，θ）]=E[R（a2，θ）]=242（元）
再计算公式4-18中等式右端的第二项，当X=1时，由前面例子计算结果可知，a（X=1）=a1，且
Eθ|X=1[R（a（X=1），θ）]= Eθ|X=1[R（a1，θ）]=135.79 用同样的方法，当抽样信息值X?1时，由
P（θj| X?1）=
P（?j）P（X?1|?j）P（X?1）
容易求出
P（θ1| X?1）=0.40376 ， P（θ2| X?1）=0.25920 P（θ3| X?1）=0.15191 ， P（θ4| X?1）=0.11977 P（θ5| X?1）=0.06537 于是，有
Eθ|X?1[R（a1，θ）] =305.35 Eθ|X?1[R（a2，θ）] =238.17 因此，a（X?1）=a2 ， 而
Eθ|X?1[R（a（X?1），θ）]= Eθ|X?1[R（a2，θ）]=238.17
80
所以
EX{ Eθ|X[R（a（X），θ）]} = Eθ|X?1[R（a（X?1），θ）]P（X?1） + Eθ|X=1[R（a（X=1），θ）]P（X=1） =238.17 ? 0.72073 + 135.79 ? 0.27927 =209.58 所以，由公式（4-18），抽样信息价值
EVSI=E（R（aopt，θ））－EX{Eθ|X[R（a（X），θ）]} =240 – 209.58 = 32.42（元） 三. 最佳样本容量
用抽样方法获取补充信息，提高了决策的效益。然而抽样需要支付费用，费用大小与样本容量有关，样本容量越大，抽样费用越高。如何确定样本容量的一个最佳值，既能提高决策的效益，又使支付费用尽量的小。，下面，将讨论抽样的规模问题。
1． 抽样成本和抽样净收益
在抽样贝叶斯决策中，抽样所支付的费用称为抽样成本，记作CS，由于抽样成本是样本容量N的函数，抽样成本常记为CS（N）。
当N?0时，抽样成本CS（N）分为两部分，固定成本Cf和可变成本CvN，其中Cv
表示单位可变成本。于是，抽样成本
CS（N）=Cf + CvN ，（N?1） （4-19） 同样，抽样信息价值也是样本容量N 的函数，记为EVSI（N），抽样信息价值与抽样成本之差，称为抽样净收益值（Expected Net Gain from Sampling），记做ENGS，由于抽样净收益值ENGS也是样本容量N的函数，故有
ENGS（N）=EVSI（N）-CS（N） （4-20）
抽样净收益值ENGS（N）是抽样贝叶斯决策的重要指标，以此确定抽样调查工作的必要性。当ENGS（N）>0时，抽样分析给决策带来正效益，应该进行抽样分析。 反之，当ENGS（N）?0时，抽样分析给决策带来负效益，一般情况下，应否定抽样调查方案。当然，特殊情况应例外，例如社会公益性决策，以社会效益为主，经济效益从属第二位。
2． 最佳样本容量 当抽样净收益值ENGS（N）>0时，样本容量常有若干个，此时，应该选择使ENGS（N）取最大值的样本容量N，使ENGS（N）达到最大值的样本容量N 的非负整数，称为最佳样本容量，记作N，如果最佳样本容量N存在若干个，则取其最小的一个。
由于
ENGS（N）=EVSI（N）-CS（N）>0 于是，有
CS（N） 所以 CS（N） Cf + CvN ? EVPI 则N < (EVPI-Cf)/ CV (4-21) 上式给出了样本容量N 的取值范围，在此范围内，找到有限个N值，分别计算相应的ENGS（N）值，并列表比较，从中找出最大值ENGS（N），从而求得最佳样本容量N * * ** 。 81
