童话幻灭P（θ3|H2）=0.17 P（θ1|H3）=0.09 P（θ2|H3）=0.36 P（θ3|H3）=0.55
于是当市场调查值H=H1时，用后验分布代替先验分布，计算各方案的期望收益值
3 E（a1|H1）=
?P（?j|H1）q1j
j?1 =0.56 ? 50 + 0.25 ? 20 + 0.19 ?（-20） =29.2
E（a2|H1）=21.5 E（a3|H1）=10
因此，最大期望收益值
E（aopt|H1）=max{ E（a1|H1），E（a2|H1），E（a3|H1）}
=E~1=29.2 当时常调查值H=H1时，最满意方案为a1 应当选择引进大型设备的投资方案 同样，当市场调查值为H2时
3 E（a1|H2）=
?P（?j|H2）q1j =21
j?13E（a1|H1）=
?P（?j|H2）q2j =20.35
j?13E（a1|H1）=
?P（?j|H3）q3j =10
j?1因此，最大期望收益值
E（aopt|H2）=max{ E（a1|H2），E（a2|H2），E（a3|H2）}
=E~2=21
故仍应引进大型设备。
当市场调查值为H3时，用后验分布计算各方案的期望收益值
3 E（a1|H3）=
?P（?j|H3）q1j =0.7
j?13 E（a1|H3）=
?P（?j|H3）q2j =6.2
j?13 E（a1|H3）=
?P（?j|H3）q3j =10
j?1 72
最大期望收益值
E（aopt|H3）=max{ E（a1|H3），E（a2|H3），E（a3|H3）} =E3=10 故此时应该选择引进小型设备的投资方案 该企业通过市场调查所得到的期望收益值 E2=
?EP（H）iii?13~~ =0.32 ? 29.2 + 0.35 ? 21 + 0.33 ? 10
=19.99（万元）
而该企业在验前分析中的最大期望收益值为E1=17，由此可见，通过市场调查，该企业的期望收益值增加了2.99万元，只要调查费用不超过2.99万元，那么进行调查行为就是有利可图的。
3． 验后分析
验后分析是把调查信息和验前信息结合起来，修正状态变量的先验分布，得到后验分布，并以此计算在调查信息值发生的条件下，各可行方案的期望收益值，比较得到最满意的决策方法，这一计算过程在预验分析阶段已经完成。
综上所述，如果市场调查费用不超过2.99万，就应该进行市场调查，若超过，则不应做市场调查。若进行市场调查，如果调查结果为需求量大，则选择引进大型设备，可获得期望收益值29.2万，如果调查结果为需求量一般，仍然选择引进大型设备，可获得期望收益值21万，如果调查结果为需求量小，则选择引进小型设备，可获得期望收益值10万。
第二节 贝叶斯决策信息的价值
从上面的例子可以看出，信息本身既有成本，也有价值。如何测算信息的价值也是本节将要讨论的问题。
一．完全信息的价值（EVPI）
通常，将能够提供状态向量真实情况的补充信息称为完全信息。掌握了完全信息，风险决策就转化为确定型决策，这对于解决决策问题无疑是有益的。例如，在例4-1中，若将状态θj （j =1，2）发生时H1的条件概率改为
P（H1 |θ1）=0.95 ， P（H1 |θ2）=0 则可以计算信息值H1发生时的后验概率，可发现 P（θ1 | H1）=1 P（θ2 | H1）=0
这表示，当预测市场畅销时，该产品实际进入市场必定畅销，预测值H1是完全信息值，该公司按此信息值决策，经营该产品则无任何风险。
1． 完全信息的意义
设H1为补充信息值，若存在状态值θ0，使得条件概率 P（θ0 | Hi）=1
或者当状态不为θ0时，总有
P（θ | Hi）=0
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则称信息值Hi 为完全信息值
设决策问题的收益函数为Q=Q（a，θ），其中a 为行动方案，θ为状态变量。Hi 为完全信息值，掌握了Hi的最满意方案为a（Hi），其收益值为Q（a（Hi），θ）=maxQ（a，θ），验前
a最满意方案aopt的收益值为Q（aopt，θ），掌握了完全信息值Hi前后收益值的增加量
max Q（a，θ）- Q（aopt，θ） （4-5）
a称为在状态变量为θ时的完全信息值Hi的价值。
例如，在例4-1中，若P（θ2 | H2）=1，则H2是完全信息值，公司掌握了完全信息值H2，最满意方案为a2，即不经营该产品，a（H2）=a2。由于先验最满意方案为a1，Q（aopt，θ2）=-5000，于是
Q（a（H2），θ2）- Q（aopt，θ2）=maxQ（a，θ2）- Q（aopt，θ2）
a =0-(-5000)=5000元
因此，在θ=θ2时，完全信息值H2的价值为5000元。
如果补充信息值Hi对每一个状态值θ都是完全信息值，则完全信息值Hi对状态值θ的期望收益值称为完全信息价值的期望值（Expected Value of Perfect Information），简称完全信息价值，记作EVPI。
2．完全信息价值的计算 根据完全信息价值的意义，如果信息值H对每一状态值θ都是完全信息值，则信息值H的完全信息价值EVPI，可以用公式（5-5）对θ求数学期望得到，即
EVPI=E[maxQ（a，θ）- Q（aopt，θ）]
a = E[maxQ（a，θ）] – E[Q（aopt，θ）]
a （4-6）
其中E 表示对状态变量θ求数学期望。
公式（4-6）可以表示为两种形式。在离散情况时，可写成
EVPI=
?maxqj?11?i?mnijpj - E（aopt） （4-7）
其中，收益矩阵为Q=（qij）m×n，状态概率为P（θj）=pj（1，2，…..，n），E（aopt）表示验前最满意行动方案的期望收益值。 在连续情况下，可写成
EVPI=
?????maxQ（a，?）?p（?）d? - E（aopt） （4-8）
a上面三个公式可以看出，完全信息价值EVPI，实质上是掌握完全信息与未掌握完全信
息时，决策者期望收益值的增加量。
【例4-3】 试求例4-1中决策问题的完全信息价值。
解： 该决策问题的收益函数为离散情况，完全信息价值用（4-7）式计算。由例4-1可知
E（aopt）=E（a1）=11000（元） 收益矩阵为
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Q=（qij）2?2= ???15000?5000?? ?0?0?在掌握了完全信息的条件下，当θ=θ1时，采取行动方案a1；当θ=θ2时，采取行动方案a2，
于是，掌握了完全信息的期望收益值 E[maxQ（a，θ）]=
a?maxqj?11?i?22ijpj
=15000 ? 0.8 + 0 ? 0.2 =12000（元） 因此，完全信息价值 EVPI=
?maxqj?11?i?22ijpj - E（aopt）
=12000-11000 =1000（元）
【例4-4】 试求例4-2中新产品开发问题的完全信息价值 解： 由例4-2可知
E（aopt）= E（a1）=17（万元） 收益矩阵
?5020?20??? Q=（qij）3?3 =?3025?10?
?101010???于是
3?maxqj?11?i?3ijpj=50?0.3+25?0.4+10?0.3
=28（万元）
由公式4-7 ，可得 EVPI=
?maxqj?11?i?33ijpj - E（aopt）
=28-17=11 （万元）
二 .补充信息的价值（EVAI）
在贝叶斯决策的实际工作中，获取完全信息是困难的。在一般情况下，信息值Hi对状态值θ0来说，条件概率<1，信息值Hi并非完全信息。因此，需要讨论补充信息的价值及其计算。
1． 补充信息价值的意义
设Hi （或τ）为补充信息值，决策者掌握了补充信息值Hi （或τ）前后期望收益值的增加量，或者掌握了补充信息值Hi （或τ）前后期望损失值的减少量，称为补充信息值Hi （或τ）的价值。全部补充信息值Hi （或τ）价值的期望制，称为补充信息价值的期望值，简称
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补充信息价值，记作EVAI（Expected Value of Additional Information）。
例如，由例4-1知，对于补充信息值H1，即市场预测畅销，掌握了H1前后的最满意方案都是a1，于是掌握了补充信息前后期望收益值的增加量为0，即信息值H1的价值为0元，对于补充信息值H2，即市场预测滞销，掌握了H2前的最满意方案为a1，其期望收益值为
E（a1|H2）=-1364（元）
掌握了H2后的最满意方案为a2，其期望收益值
E（a2|H2）=0（元）
于是，掌握了H2前后期望收益值的增加量为
E（a2|H2）- E（a1|H2）=0-（-1364）=1364（元） 因此，补充信息价值
EVAI=0 ? P（H1）+1364 ? P（H2） =0 ? 0.78+1364 ? 0.22=300元 2，补充信息价值的计算
补充信息价值的计算公式有三种形式，可以证明，这三种形式是等价的。 1）.按定义计算
EVAI=Eτ{Eθ|τ[Q（a（τ），θ）- Q（aopt，Q）]} （4-9）
其中，a（τ）表示在信息值τ下的最满意方案，Eθ|a 表示在信息值τ的条件下对状态值θ求期望，Eτ 表示对信息值τ求期望。
公式（4-9）可分为两种情况。在离散情况时，则为 EVAI=
?Q（a?{?[Q（a（H），?）ijij????opt，?j）]P（?j|Hi）}P（Hi） （4-10）
在连续情况下，则为 EVPI=
??? {?[Q（a（?），?）?Q（aopt，?）]k（?|?）d?}h（?）d? （4-11）
?? 式中，k（θ|τ）表示在信息值τ的条件下θ的条件密度函数，h（τ）表示信息值的密度函数。
2）.按期望收益值的增加值计算
EVAI=E?{EΘ|?[Q(a(τ),θ)]}-E(aopt) （4-12） 它表示，补充信息价值等于掌握补充信息前后，最满意行动方案期望收益值的增加量。 下面，以离散情况为例，由公式（4-9）推出公式（4-12），由公式（4-10）右边第二项
= =
?[?Q（aijopt ，?j）P（?j|Hi）]P（Hi）?[Q（ajopt，?j）P（Hi）] ?P（?j|Hi）i?[Q（ajopt，?j）P（?j）]
=EΘ[Q（aopt ，θ）]=E（aopt） 即得公式（4-12）。
3）.按期望损失值的减少量计算
EVAI=E[R（aopt ，θ）-Eτ{Eθ|τ [R（a（τ），θ）]} （4-13）
公式（4-13）由损失函数形式给出，表示补充信息价值等于掌握补充信息前后，最满意行动
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