落魂花6
第02讲有理数的加减法
考点·方法·破译
1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.
2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.
3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.
4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.
经典·考题·赏析
【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A 这天的收盘价为（）
A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元
【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．
【变式题组】
01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）
A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃
02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________
03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________
【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）
【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.
解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85
【变式题组】
01．（－2.5）＋（－31
2）＋（－1
3
4）＋（－1
1
4）
7
8
132
164116
1814
12
02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）
03．0.125＋314＋（－318）＋112
3＋（－0.25）
【例３】计算1111
122334
20082009+++
+
????
【解法指导】依111
(1)1n n n n =-
++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.
解：原式＝
1111111
(1)()()(
)2233420082009-+-+-+
+-
＝
111111112233420082009-+-+-++
-
＝
112009-
＝20082009
【变式题组】
01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）
02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1
2的长方形，接着把
面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形
等分成两个面积为1
8的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算
11111111248163264128256+++++++
＝__________.
9 -a -b 0b a 【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ）
A ．a ＞b ＞－b ＞－a
B ．a ＞－a ＞b ＞－b
C ．b ＞a ＞－b ＞－a
D ．－a ＞b ＞－b ＞a
【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.
解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和
又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |
将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b ＞a
【变式题组】
01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）
02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）
03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小
【例５】42
5－（－33311）－（－1.6）－（－21811）
【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.
解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝42
5＋33311＋1.6＋21811
＝4.4＋1.6＋（33311＋218
11）＝6＋55＝61
【变式题组】
01．21511()()()()(1)3
2632--+---+-+
02．434－（＋3.85）－（－31
4）＋（－3.15）
03．178－87.21－（－43221）＋15319
21－12.79
【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…
⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？
⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？
⑶求这列数中所有正数的和.
【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n 个数的规律，再用其它的数来验证.
解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)
⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1
故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.
⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169
【变式题组】
01．(杭州)观察下列等式
1－1
2＝
1
2，2－
2
5＝
8
5，3－
3
10＝
27
10，4－
4
17＝
64
17…依你发现的规律，解答下列问题.
⑴写出第5个等式；
⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？
02．观察下列等式的规律
9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20
⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；
⑵当这个等式的右边等于2017时求n.
【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求1
2＋（
1
3＋
2
3）＋（
1
4＋
2
4＋
3
4）＋（
1
5＋
2
5＋
3
5＋
4
5）＋…＋（
1
50
＋2
50＋…＋
48
50＋
49
50）
【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.
解：设S＝1
2＋（
1
3＋
2
3）＋（
1
4＋
2
4＋
3
4）＋…＋（
1
50＋
2
50＋…＋
48
50＋
49
50）
10
则有S＝1
2＋（
2
3＋
1
3）＋（
3
4＋
2
4＋
1
4）＋…＋（
49
50＋
48
50＋…＋
2
50＋
1
50）
将原式和倒序再相加得
2S＝1
2＋
1
2＋（
1
3＋
2
3＋
2
3＋
1
3）＋（
1
4＋
2
4＋
3
4＋
3
4＋
2
4＋
1
4）＋…＋（
1
50＋
2
50＋…＋
48
50＋
49
50＋
49 50＋48
50＋…＋
2
50＋
1
50）
即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491)
2
?+
＝1225
∴S＝1225 2
【变式题组】
01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210
02．（第8届希望杯试题）计算（1－1
2－
1
3－…－
1
2003）（
1
2＋
1
3＋
1
4＋…＋
1
2003＋
1
2004）－（1－
1
2－
1
3－…－
1
2004）（
1
2＋
1
3＋
1
4＋…＋
1
2003）
演练巩固·反馈提高
01．m是有理数，则m＋|m|（）
A．可能是负数B．不可能是负数
C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数
02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）
A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5
03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）
A． 1 B．0 C．－1 D．－3
04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）
A．两数一定都是正数B．两数都不为0
C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数
05．下列等式一定成立的是（）
A．|x|－x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0
06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃
07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）
A．－a B．0 C．2a D．－2a
08．设x是不等于0的有理数，则||||
2
x x
x
-
值为（）
11
A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________
10．用含绝对值的式子表示下列各式：
⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________
⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________
⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________
11．计算下列各题：
⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25
⑶－0.5－31
4＋2.75－7
1
2⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－
23
10|
12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99
13．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：
＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5
⑴问收工时距离A地多远？
⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？
14．将2017减去它的1
2，再减去余下的
1
3，再减去余下的
1
4，再减去余下的
1
5……以此类推，直到最后减去
余下的
1
1997，最后的得数是多少？
12
13
15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般
只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，1
3，14，15，…190，1
91，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？
培优升级·奥赛检测
01．（第16届希望杯邀请赛试题）12341415
24682830-+-+-+-+-+-+-等于（ ）
A ．1
4 B ．14- C ．12
D ．12- 02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b ＋51
c ＋61
d 等于（ ）
A ．1
8 B ．316 C ．732
D ．1564 03．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ）
A ．30
B ．32
C ．34
D ．36
04．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝19971997
19981998，则a 、b 、c 大小关系是（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜c ＜a
C ．c ＜b ＜a
D ．a ＜c ＜b
14 25632015201051216158412410982654321534333231305．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+
++++?????的值得整数部分为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
06．(－2)2017＋3×(－2)2017的值为（ ）
A ．－22017
