忆挽青笙尽a 2x :
b 2x:
c 2．（a 12+a 22≠0，分子、分母无公因式，且x 无人为限制．）
先化成(a 2y ?a 1)x 2+(b 2y ?b 1)x +(c 2y ?c 1)=0，再运用Δ≥0求值域（但要注意讨论二次项系数为0的情况）． 附：若含参数的函数f (x )=a 1x 2:b 1x:c
1a 2x :b 2x:c 2的值域为,a ，b-，求所含参数的值． 方法①：利用判别式法；方法②：利用a ≤a 1x 2:b 1x:c
1a 2x 2:b 2x:c 2≤b 恒成立且等号也可成立． 9．导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值． (万能方法！)■ ⒑ 分类讨论法：对于含参数的函数求值域或最值，最常用的方法是数形结合、分类讨论．通常先作出函数的一般
图象（形状），再由函数图象左右移动悟出讨论标准！二次函数f (x )=ax 2+bx +c ，x ∈,m ，n-的最值问题 （对称轴含参数问题、区间含参数问题）是最典型的．注意是否需要讨论开口方向，
①对称轴x =?b 2a 与x 轴上区间,m ，n -的两端点m ，n 的三种位置关系；
②对称轴x =?b 2a 与x 轴上区间,m ，n-的中点m:n 2的两种位置关系；
同理：对于函数f (x )= |x ?a|+b ，x ∈,m ，n-的最值问题（对称轴含参数问题），可参照上述思路解决．
1．值域必须是用集合或区间的形式表示！ 2．集合*y|y =f (x )+的含义：即函数y =f(x)的值域．
不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。
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补充
1．求函数值域问题，从方程角度讲，就是关于x 的方程．．在定义域内有解．．，从而求参数y 的取值范围问题！ 求函数值域问题，从图象角度讲，就是函数图象上每一点的纵坐标．．．
组成的集合！ 2．求函数值域与求最值方法是相同（通）的，既可求出值域而确定最值，也可求出最值而确定值域． 3．可学会使用的符号：①f (x )max =f (p )，f (x )min =f (q )；
②f (x )max =max{f (p )，f (q )}=?，f (x )min =min{f (p )，f (q )，f (r )}=?． 4．下面几种分式函数求值域要熟练： ①y =mx:n
(ax:b)2（令t =1
ax:b 倒数换元法）， ②y =√mx:n
ax:b (令t =√mx +n )，
③y =
ax 2:bx:c mx:n 或y =mx:n
ax :bx:c (令t =mx +n )． 【分式看作斜率，则可用数形结合法．】
先化简(换元、化繁分式、分子常数化)，再用均值不等式或单调性法或导数法．（注意双勾函数的性质的运用．） 5．求y =m √x ?c +n √d ?x 最值的方法：
①导数法；②mn <0时单调性法；③向量法、柯西不等式、三角换元法；④m =n 时，平方法． 6．求高次分式函数f (x )=a 1x 3:b 1x 2:c 1x:d
1a 2
x 3:b 2
x 2:c 2
x:d 2
的最值，也可考虑先分子降次、分子常数化．
7．若a ?*y|y =f (x )，x ∈A+，则f (x )=a 在集合A 中无解！ 例：2?*y|y = x 2?x +1+，求 的取值范围． 8．y =|f (x )|+g(x)：变分段函数、数形结合求值域． 例：|x ?m +5|+x ≥1恒成立，求m 的取值范围． 9．已知f (x )=|x ?a |+1，x ∈,0，1-，其中常数a ∈,0，1-，求f(x)的最大值．【先作图，再由图悟出讨论标准！】 【答案：7．
4；
8．m ≥6；
9．当0≤a ≤1
2时，f (x )max =f(1)；当1
2
数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合千般好，隔裂分家万事休．——华罗庚
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专题5 函数图象及其变换(B1)
1．轴对称(自对称)：
①f (a +x )=f (a ?x )?y =f(x)图象关于直线x =a 对称； ②f (a +x )=f (b ?x )?y =f (x )图象关于直线x =a:b 2
对称．2．中心对称(自对称)：
①f (a +x )+f (a ?x )=0?函数y =f(x)图象关于点(a ，0)成中心对称； ②f (a +
x )+f (a ?x )=2b ?函数y =f(x)图象关于点(a ，b)成中心对称； ③f (a +x )+f (b ?x )=c ?函数y =f(x)图象关于点(
a:b 2，c
2)成中心对称． 3．两个函数图象间的变换及函数关系：【会根据变换写解析式】
平移变换：①y =f (x )左右平移a 个单位
→ 左加右减
y =f (x ±a ) (a >0)； ②y =f (x )上下平移b 个单位
→ 上加下减
y =f (x )±b (b >0)；
翻折变换：③y =f (x )翻折变换 → 下往上翻
y =|f (x )|； ④y =f (x )翻折变换
→ 作右翻左
y =f (|x|)(偶函数)；
伸缩变换：⑤y =f (x ) 伸缩变换 → 沿横轴伸缩1
ω
倍
y =f (ωx )； ⑥y =f (x ) 伸缩变换 → 沿纵轴伸缩 A 倍
y =Af (x )． 4．两个函数图象间的对称性及函数关系：【会根据对称性写解析式】 ①{
y =f (x )，
y =f (?x )．关于直线x =0(即y 轴)对称； ④{y =f (x )，
y =f (2a ?x )．关于直线x =a 对称；
②{
y =f (x )， y =?f (x )．关于直线y =0(即x 轴)对称； ⑤{y =f (a +x )，y =f (b ?x )．关于直线x =b;a
2对称．
③{
y =f (x )，
y =?f (?x )．关于原点对称； ⑥{y =f (x )，
y =2b ?f (2a ?x )．关于点(a ，b)对称；
5．熟记一些基本函数图象，便于以此为基础进行图形变换，作出相关的函数图象，从而进一步解决有关问题． ①y =|x |（偶函数）； ②y =a |x|(偶函数)； ③y =log a |x|(偶函数)； ④y =x 3(奇函数)． 6．含绝对值符号的函数的图象，如果不能由图形变换得到，则采用零根分段去绝对值法变分段函数作图！ 7．①若将函数y =f(x)的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数y =f (x ?a )+b 的图象； ②若将曲线F (x ，y )=0的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线F (x ?a ，y ?b )=0的图象． 8．求与已知曲线相关联的曲线方程问题，实质上是利用代入法转化为求点的轨迹问题；
9．证明一个函数图像的自身对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点仍在图像上．
①证明y =f (x ?a )+b 关于点(a ，b)成中心对称的一种简便方法：先证明y =f(x)是奇函数，即关于原点对称，再利用平移变换就可说明y =f (x ?a )+b 关于点(a ，b)成中心对称．
②证明y =f (x ?a )关于直线x =a 成轴对称的一种简便方法：先证明y =f(x)是偶函数，即关于y 轴对称，再利用平移变换就可说明y =f (x ?a )关于直线x =a 成轴对称． ⒑ 证明图像C 1与C 2的对称性，需证两方面：
①证明C 1上任意点关于对称中心（或对称轴）的对称点仍在C 2上；
②证明C 2上任意点关于对称中心（或对称轴）的对称点仍在C 1上．（表述上用“同理可证”即可．）
由形到数易，由数到形难；难点一突破，思路如涌泉．
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快速作出常用函数的图象（利用好函数性质，并抓住关键点、关键线．）
【会读图】读出定义域，值域，最值，极值，零点，解集，单调性，奇偶性（对称性），周期性，有界性，渐近线． 【会作图】熟练掌握一些基本函数图象．作图时，抓住关键点（端点、最值点、极值点、零点、与y 轴的交点等），
关键线（对称轴、渐近线），利用好函数性质（奇偶性、单调性、周期性等）．
1．反比例型函数：y =ax:b cx:d (c ≠0，a c ≠b
d )分子常数化
→ y =k
x;x 0
+y 0的图像是双曲线，其对称中心为点(x 0，y 0)，
其图象可由y =k
x 变换得到．【也可根据对称中心(x 0，y 0)，先画出两条渐近线，再根据 的符号画出双曲线！】 事实上，x 0=?d
，y 0=a
c ；该函数定义域为*x|x ≠?d
c +，值域为*y|y ≠a
c +．
2．y =x +k
x ( >
0)(俗称双勾函数)，见上第四图；【更一般形式的双勾函数：y =ax +b
x (a >0，b >0)】 注意区别于y =x ?k
x ( >0)的图象，见上第三图．
3．掌握f (x )=a 1|x ?x 1|+a 2|x ?x 2|+?+a n |x ?x n |+b 的图象．用零根分段去绝对值法变分段函数，显然每段
均为一次函数或常数．因此，图象特征为：由两条射线和一条(或几条)线段组成，线段都在中间且依次相连，两条射线在两端，线段的各个端点横坐标就是各绝对值的零点．画图时可以先在x 轴上标出x 1，x 2，?，x n ，再确定线段的各个端点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，?，(x n ，f (x n ))，两端射线的起伏可以通过取点而确定．
12②f (x )=|x ?x 1|?|x ?x 2|+b ；
③f(x)= |x ?a |+b 的图象：顶点坐标为(a ，b)， 当 >0时，正∨字形；当 <0时，倒∨(即∧)字形；
4．如何作出f (x )=max*f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )+或f (x )=min*f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )+的图象？
在同一坐标系中先分别作出函数f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )图象，再利用它们的交点分段确定f(x)的图象． 5．某些函数的图象可以通过对解析式变形，变形为曲线方程来判断．
如：f (x )=1+√4?x ?32?y =1+√4?(x ?3)2?(x ?3)2+(y ?1)2=4(y ≥1)，其图象为半圆． 6．研究函数综合问题：如果能确定函数单调性，奇偶性，周期性，渐近线，再结合零点，极值、最值、端点值，那么画出的函数图象是比较准确的了，这样就更便于我们寻找解题思路，从而解决问题．切记，切记！ 7．y =1
f(x)的图象：若?x 0∈R ，使得f (x 0)=0，则x =x 0为y =1
f(x)图象的渐近线．
你能作出y =
1lgx
，y =
1sinx
等函数的图象吗？
00
锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。
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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 专题6 单调性(B1)
1．定义：对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2．
①若x 1 ②若x 1 【说明】单调函数的图象不一定是连续的曲线，如：某些分段函数可以在定义域上为单调函数． 2．写出函数的单调区间时，正确的表示方法是：（在单调性相同的）多个单调区间之间用逗号隔开的方式来书写． 绝对不能出现并集符号“?”．确定函数的单调性必须指明单调区间（可充分利用图象）． 3．用单调性定义证题的步骤：①取值，②作差变形（变形务必彻底，最后形式为各个因式之积商），③定号． ?(?∞，a)→x 1 4．性质：①若f(x)为增函数，则f (x 1) 常结合奇偶性解抽象函数不等式，化得具体的不等式（组），具体应用时还应要求x 1，x 2在定义域内！ 【转化时，先要转化（写）完整，然后再解不等式组；又如求函数定义域的题，也应如此！】 5．设x 1，x 2∈,a ，b-，且x 1≠x 2，【必要时要规定x 1 ① f(x 1);f(x 2)x 1;x 2>0?(x 1?x 2),f (x 1)?f (x 2)->0?f(x)在,a ，b-是增函数?f′(x )≥0恒成立（等号不能漏掉！） ② f(x 1);f(x 2)x 1;x 2<0?(x 1?x 2),f (x 1)?f (x 2)-<0?f(x)在,a ，b-是减函数?f′(x )≤0恒成立（等号不能漏掉！） ③ f(x 1);f(x 2)x 1;x 2>c ?f (x 1)?cx 1 ⑤c x 1;x 2 ①定义法【用于具体函数，或满足一个恒等式的抽象函数，或由一个函数的单调性推出另一个函数的单调性】 ②推理法【判断具有奇偶性的函数在对称区间上的单调性．常要用到单调性定义和不等式性质．】 ③快速判断法【结构要整理好：分式型函数采取分子常数化，或化繁分式，或分子、分母有理化等手段整理．】 ④图象法【直观实用！】 ⑤复合函数法【同增异减！或大同小异！】 ⑥导数法【制胜法宝！】
