忆挽青笙尽9．可以在本书每页的背面或专门的笔记本上，收集（作业、考试中的）错题、经典题，便于日后考前复习巩固．⒑作业本上的错题、试卷上的错题一定要及时更正！做错了不可怕，可怕的是做错了不去纠正！
3 知识改变命运，奋斗成就梦想！多思出悟性，常悟获精华！
我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。——牛顿
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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！
专题B 常用化简技巧与常用公式
1．繁分式化简分式：
1a +2b +1c 3ac ;1b +4bc
=
(1a +2b +1c )×abc
(3ac ;1b +4bc
)×abc =
bc:2ac:ab 3b;ac:4a
． (同乘)
2．分式中的负指数幂化成正指数幂：a x :a ?x a x ;a ?x =(a x :a ?x )×a x
(a x ;a ?x )×a x =a 2x :1
a 2x ;1． (同乘) 3．齐次式变形：z =
a:√3b
√3a:b
；z =
2a 2:4ab;3b 2a :ab:b ；a 2?5ab +4b 2>0． (同除)
4．除法分配律（分数裂项）：①b:c
a
=b
a +c
a ；②a;b
ab =1
b ?1
a ． (分式变形时常用) 5．分子常数化：①y =
2x;1x;1
=
(2x;2):1x;1
=1
x;1+2； ②y =2x
x:4=
21:
4x
(x ≠0)； ③y =a x ;1a x
:1
=(a x :1);2a x :1
=1?2
a x :1；
④y =
2x 2;4x:3
x;1
=
2(x;1)2:1
x;1
=2(x ?1)+1
x;1（或用换元法令分母为t 后，达到分子常数化要求）．
6．分母有理化：①
√a:√b
=√a;√b)(
√a:√b)(√a;√
b)
=√a;√b
a;b
； ②
=
√2=√x 2+1+x ；
分子有理化：①√a ?√=
√a;√b)(√a:√b)
1?(√a:√b)=
√a:√
b
； ②√n 2+1?n =√n 2:1;n
1
=
22√2=
√2；
7．配方：①a 2±ab +b 2=(a ±b
2)2+3
4b 2； ②a 2+b 2=(a +b )2?2ab ；
③x 2+1
x 2=(x +1
x )2?2； ④y =ax 2+bx +c =a (x +b
2a )2+4ac;b 24a
(a ≠0)；
⑤a 2+b 2+c 2?ab ?ac ?bc =1
2,(a ?b )2+(a ?c )2+(b ?c )2-．
8．因式分解、乘法公式：
①a 2?b 2=(a ?b )(a +b)； ②(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ； ③a 2?2ab +b 2=(a ?b )2； ④a 2+2ab +b 2=(a +b )2； ⑤a 3?b 3=(a ?b )(a 2+ab +b 2)； ⑥a 3+b 3=(a +b )(a 2?ab +b 2)； ⑦(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3； ⑧(a ?b )3=a 3?3a 2b +3ab 2?b 3． 9．设ax 2+bx +c =0的两根为x 1，x 2，令?=b 2?4ac ， ①求根公式：x 1，2=
;b±√b 2;4ac
2a
(?≥0)．另有|x 1?x 2|=√(x 1?x 2)2=√(x 1+x 2)2?4x 1x 2=√?
|a|．
②（韦达定理）根与系数的关系：{
x 1+x 2=?b
a ，x 1x 2=c
a ．
【注意：解此类方程组时可构造方程x 2+b a x +c
a =0再解】
③因式分解：ax 2+bx +c =a (x ?x 1)(x ?x 2)． ⒑ ①三角形中的三边、边角不等关系，外角定理． ②n 边形内角和：(n ?2)?180°；n 边形外角和：360 ．
③角平线定理：在?ABC 中，∠A 的平分线交BC 边于D ，则BD
DC =AB
AC ．
④重心性质：设?ABC 的三条中线AE ，BF ，CD 相交于点O ，则AO =2OE ，BO =2OF ，CO =2OD ． ⑤若P 关于Q 成反比，则P =k
Q ；若P 关于Q 成正比，则P = Q ．【其中 为待定系数】 ⑥若y 关于u 成正比，且关于v 成反比，则y = ?u
v ；
⒒ ①ax +b =0；②am +bn =0对于x ∈R 或m ，n ∈R 恒成立?a =0，b =0．
③ax 2+bx +c =0；④am 2+bmn +cn 2=0对于x ∈R 或m ，n ∈R 恒成立?a =0，b =0，c =0． ⒓ 准确作图，对解题是有很大帮助的．因此作图工具要备好：圆规、三角板、量角器、铅笔．
⒔ 为便于自学，购买教辅资料时，尽量选每一题解答都非常详尽的那一种（但不要边做练习边看答案！）．
A
B
C
D F C
E
B
D
O A
学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。——苏步青
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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 专题1 集合(B1)
1．集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性． 【思考】*x |(x ?a )(x ?3)=0+=？
2．元素a 与集合A 的关系：∈，?；
3．常用数集符号：N ?或N :正整数集，N 自然数集，Z 整数集，Q 有理数集，R 实数集， R Q 无理数集，C 复数集，
*x|x =2n ，n ∈Z+偶数集，*x|x =2n ?1，n ∈Z+奇数集．
4．集合的三种常用表示方法：列举法、描述法（形式可具有多样性）、图示法（一种解题工具或方法）．
5．集合A 与集合B 的关系：?，?，=，?，?． 【显然，A ?A ；另规定： ?A ．】
6．若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有子集个数为2n ． （∵C n 0+C n 1+C n 2+?+C n n =2n 或 (C 21)n =2n ．）
所有非空子集的个数是2n ?1，所有真子集的个数是2n ?1，所有非空真子集的个数是2n ?2． 【 ，A ．】
7．①A?B =*x|x ∈A ，或x ∈B+；
②A?B =*x|x ∈A ，且x ∈B+；
③ U A =*x|x ∈U ，且x ?A+． 【显然A 与 U A 成对出现】
8．摩根定理：①( U A )?( U B )= U (A?B)； ②( U A )?( U B )= U (A?B)．
【右上图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分你能用集合符号表示吗？】
9．①A?B =B ? ? ． ②A?B =A ? ? ． 【①②要重点理解掌握！】
③A?( U B)= ? ? ． ④( U A)?B =U ? ? ． ⑤ U B ? U A ? ? ．
⒑ 含参数的集合A 满足A ?B 或A?B = 等情形时，在求解的时候要注意是否需要分A = 与A ≠ 两种情形讨论．
若含参数的集合A 是一个方程或不等式的解集，也可以从通过讨论系数的符号来解方程或不等式的角度考察． 补充1
1．求集合（有限集）中的参数的值要注意检验：①是否违反集合中元素的互异性，②是否与已知条件矛盾．
2．求集合交、并、补或求满足 ? 或 ? = 等情形时参数取值范围的方法：
①观察法（有限集）， ②数形结合法【无限集，利用韦恩（Venn ）图，或数轴，或坐标平面】．
3．注意区分集合中元素的含义：【数集一般都要进一步化简！】
⒈数集： A =*x|f (x )=0+方程的解集； B =*x|f (x )>0+或*x|f (x )<0+不等式的解集；
C =*x|y =f (x )+函数y =f (x )的定义域；
D =*y|y =f (x )+函数y =f (x )的值域；
M =*x|F (x ，y )=0+，N =*y|F (x ，y )=0+：满足（曲线）方程F (x ，y )=0的x 或y 的取值集合．
⒉点集：A =*(x ，y)|F (x ，y )=0+曲线【或满足二元方程F (x ，y )=0解（实数对）的集合】；
B =*(x ，y)|F (x ，y )>0+区域；
C ＝*(x ，y)|F (x ，y )<0+区域；
D =*a ?|a ?=(f (t )，g (t ))+，令a ?=(x ，y)，则D ={(x ，y )|{x =f (t )y =g(t)
}=*(x ，y)|F (x ，y )=0+． 4．给出含参数不等式的解集，则解集中的端点值．．．是不等式所对应整式方程的根．（或者说是对应因式的零根．．
）． 5．你会用补集思想解决问题吗？补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题．
6．若 A =*a 1，a 2，?，a m +，C =*a 1，a 2，?，a m ，a m:1，?，a n +，(n >m )，
则满足A ?B ?C 的集合B 有2n;m 个；满足A ?B ?C 的集合B 有2n;m ?2个．
7．①ab =0?a =0或b =0； ②ab ≠0?{a ≠0b ≠0
，即a ≠0且b ≠0．
集合不论空不空,总有子集在其中!
B A A U A B U Ⅰ Ⅱ Ⅲ
Ⅳ B A U
把数学当成一门语言学习，学会每一个术语的用法，熟悉每一个符号的意义。
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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 补充2
1．满足A?B =*a 1，a 2，?，a n +的集合A ，B 有 (C 31)n =3n 对．
【每个元素放置的位置都是三选一，如图．】
2．在集合A =*a 1，a 2，?，a n +的所有子集中： ⒈集合A 中的每个元素出现2n;1次（譬如a 1这个元素,注意集合 *a 2，?，a n +有2n;1个子集）．
⒉含m 个元素的子集有C n m 个，在这C n m 个子集中，集合A 中的每个元素出现C n;1m;1次（譬如a 1这个元素）．
3．从集合观点理解方程或不等式恒成立、有解、无解问题的解决之道： 对于集合A =*x|p (x )+，集合B =*x|f (x )+，其中p (x )，f(x)代表不等式或方程，则
⒈A ?B ?f(x)对x ∈A 恒成立！【大范围对小范围恒成立；有时需利用A ?B ? U B ? U A 转化一下．】 ⒉C ?(A?B )?f(x)对x ∈C 恒成立且p(x)对x ∈C 恒成立！
⒊A?B ≠ ?f(x)在A 有解（或p(x)在B 有解）；A?B = ?f(x)在A 无解（或p(x)在B 无解）． ⒋若?x ∈A ，都有x ∈B ?A ?B ． 【若A ?B ,但?x ∈B ，且x ?A ，则A ?B ．】
1．解方程组时消元的方法：①代入消元；②加减消元；③乘除消元．
2．求值时，很多时候要进行检验，以防止产生增根，此外还要考虑是否漏根；
求取值范围，则一般不需检验．
参见专题：恒成立及有解．
解答题中必要的常用的文字表达 1．解，令，则，而，又，且，即，当，若，记，故，设，取，或，及，再，由. 2．证明，解得，由于，于是，因此，从而，因为，所以，同理，此时，又即，假设，欲证，只需证，结合. 3．由已知，据题设，依题意，化简得，等价于，整理得，不妨设，解之得，要满足，事实上，注意到，由条件，一般地. 4．由…可知，综上可知，综上所述，由此可得，两式相减(加、乘、除)得，问题等价为，由…定理得，一方面，另一方面. 5．以O 为原点，…所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . 【坐标系应符合右手直角坐标系，即x 、y 、z 轴要按逆时针螺旋式上升标记！且z 轴(竖轴)箭头一般是向上的！】 6．由…猜想…，下面（用数学归纳法、或综合法等方法）证明. B
A
学好数学的秘诀是：解题，解题，再解题。
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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 专题2 函数及其定义域(B1)
研究函数必须树立定义域优先考虑．．．．．．．
的原则！(很重要，但又很容易忽视) 1．函数的定义：【解析法、列表法、图象法】
设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A ．
【因此，函数f(x)的图象与动直线x =m 至多只有一个公共点！这是判断一个图象是不是函数图象的方法．】
【点(a ，b)在函数y =f(x)的图象上?f (a )=b ．】
2．两个函数为同一函数的充要条件是定义域与对应关系相同【即在定义域相同的条件下解析式可化为相同】．
3．映射的定义：
设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．
【函数与映射都是：一对一，或多对一．】
4．若A 中含有m 个元素，B 中含有n 个元素，从A 到B 能建立多少个映射？
5．给出函数的解析式，求函数的定义域所遵循的原则是：
①f(x)g(x)中要求g (x )≠0；
②√2n f (x )≥0；
③,f (x )-0中要求f(x)≠0；
④y =a x （a >0，且a ≠1），x ∈R ；
⑤y =log a x （a >0，且a ≠1），x >0；
⑥y =tanx ，x ∈R ，x ≠ π+π2， ∈Z ；
⑦通过加、减、乘、除四则运算及有限次复合构造出新函数，则新函数的定义域是每个函数定义域的交集． ⑧应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义．
