忆挽青笙尽⑨求定义域时最好不要对解析式先变形，否则容易出错．
6．不给出f(x)的解析式，函数f(x)，f (g (x ))，f(?(x))三者之间定义域的关系：【定义域都是指x 的取值范围．】
①已知f(x)的定义域是(a ，b)，求f (g (x ))的定义域：解不等式a 利用x ∈(a ，b)先求出g(x)的值域(c ，d)，然后解不等式c
【总之，求抽象函数的定义域，关键是抓住被同一个 f 作用的对象取值范围相同．】 7．设函数y =f(x)的定义域为集合A ，若f(x)在集合B 上有意义，则B ?A ． 8．①|a |={a ， a ≥0， ?a ， a <0． ②|a ?b |=|b ?a|（数轴上a ，b 两点间的距离）； ③|?a |=|a |， ④(a ?b )2=(b ?a )2． C n 1?C n 1???C n 1? m 个=n m (个)． 1．定义域必须用集合或区间的形式表示！ 2．集合*x|y =f (x )+的含义：即函数y =f(x)的定义域． 3．要养成这样一个习惯： 一研究函数问题，就指出该函数的定义域！ 日日行，不怕千万里；常常做，不怕千万事。 8 知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 补充 熟练掌握下列函数性质：定义域，值域(最值)，图象，单调性，奇偶性． 1．一次函数：y = x +b( ≠0)， ①定义域为R ，值域为R ． ②图象：直线，射线，线段的图象皆由两点确定． ③单调性： >0时，为R 上的增函数； <0时，为R 上的减函数； ④奇偶性：b =0时为奇函数； =0时为偶函数． ⑤y =√的值域为,0，+∞)． 2．二次函数：y =ax 2+bx +c =a (x +b 2a )2+4ac;b 24a (a ≠0)， ①定义域为R ；当a >0时，值域为*y|y ≥ 4ac;b 24a +；当a <0时，值域为*y|y ≤4ac;b 24a +． ②图象：利用顶点、两零点、对称轴作图．【“三点一线”】 【值域、最值、单调性问题用好对称轴，解集问题用好零点！】 ③单调性：当a >0时，在(?∞，?b 2a -上单调递减，在,?b 2a ，+∞)上单调递增； 当a <0时，在(?∞，?b 2a -上单调递增，在,?b 2a ，+∞)上单调递减； ④奇偶性：b =0时为偶函数．（a =c =0时为奇函数） ⑤y =2+bx +c =√a (x +b 2a )2+ 4ac;b 24a 的值域， 【不能简单类比y =√ x +b 而得出错误的结论．】 当a <0时，值域为,0，√f (?b 2a )-；当a >0时，值域为,0，+∞)或,√f (?b 2a )，+∞)（二者必居其一）． 3．反比例函数：y =k x ( ≠0)， ①定义域是*x|x ≠0+，值域是*y|y ≠0+． ②图象： >0时一、三象限的双曲线； <0时二、四象限的双曲线． ③单调性：当 >0时，在(?∞，0)，(0，+∞)上为减函数； 当 <0时，在(?∞，0)，(0，+∞)上为增函数． ④奇偶性：一定是奇函数． ⑤y =ax:b cx:d (c ≠0，a c ≠b d )分子常数化 → y =k x;x 0 +y 0，其图象可由y =k x 变换得到；其值域为*y|y ≠a c +． 不等式的解集 设x 1 1．*x |(x ?x 1)(x ?x 2)<0+?*x|x 1 1x;x 2 <0+?*x|x 1 4．*x |x;x 1 x;x 2 >0+?*x |x 5．|x |a ?x 2?a 2>0?(x +a )(x ?a )>0?x >a 或x
【“小鱼吃中间，大鱼吃两边”，即“小于取中间，大于取两边”；数轴穿根法：奇穿偶切．】 它们的单调性、奇偶性与系数的关系要把握住！ a ?a 的几何意义是斜率； 的代数意义是当自变量x 取值增加1个单位时函数值的增量． 的几何意义是：当 >0时， 过双曲线上一点(x ，y)向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积；显然 <0时，是该矩形面积的相反数． 天行健，君子以自强不息。 9 知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 专题3 函数解析式的求法(B1) 【函数变量是个筐，代数式都可以装（变量替换）．例：对于f (x )=ax 2+bx +c ， = + +c ．】 1．函数解析式的求法：【函数与方程的思想；恒等式的变量替换，如：3x +4=(x +3)+(2x +1)．】 （1）代入法【直接法，适用于①由f(x)求复合函数f,g (x )-，②由f(x +a)、f(x ?a)、f(ax)、f(x a )等求f(x)； 注意：由分段函数f(x)求复合函数f,g (x )-时，首先需要根据f(x)中对x 的分段，替换为对g(x)的分段．】 （2）凑配法【整体替换法，适用于f (√x +1)、f (1+1 x )、f(x +1 x )、f(x ?1 x )等类型．】； （3）换元法【如f (3x +1)=2x 2?3x +1．换元法与凑配法可以交替使用，如f (√x +1)，f (1+1 x )等类型．】； （4）待定系数法【告知函数类型，就要设出该函数表达式，如f(x)是一次函数，则可设f (x )= x +b ；然后， ①利用条件得恒等式，由对应项的系数相等完成；②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可．】； （5）解方程组法【给出的方程同时含： ①f(x)与f(?x)，或f(x)与f(a ?x)； 【前者x →?x ，后者x →a ?x 】 ②一奇一偶函数f(x)与g(x)； 【x →?x 】 ③f(x)与f(1 x )，或f(x)与f(a x )； 【前者x →1 x ，后者x →a x 】 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组！】； （6）图象变换法【根据变换过程写解析式，或根据对称关系、相关关系等用代入法求曲线（或轨迹）方程．】； （7）赋值法【给出可以求出解析式的恒等式时使用．】． 2．二次函数的解析式的三种形式(a ≠0)： ①一般式：y =ax 2+bx +c ； 顶点(?b 2a ， 4ac;b 24a )． ②顶点式：y =a(x ??)2+ ； 顶点(?， )． ③两根式：y =a (x ?x 1)(x ?x 2)； 顶点( x 1:x 22 ，?a ( x 1;x 22 )2 )． 【提醒1】用待定系数法求二次函数的解析式按照③、②、①的顺序考虑去设解析式较好． 【提醒2】f (x )=ax 2+bx +c =a (x ?x 1)(x ?x 2)：一般式与两根式的相互转化使用，常有利于解决问题． 【已知一个零根x 1时，另一零根x 2可由韦达定理求出．】 【提醒3】与二次函数有关的问题【值域，最值，单调性等】，要学会直接运用对称轴和图象解决！ 3．应用题中求函数解析式： 关键是寻找等量关系，即同一个量用不同方式表达，由此就得到方程（或等式），从而就可得到函数解析式． 注意：①没有给出字母变量的，一定要先设出来． ②要根据实际意义，准确求出函数定义域． ③不能用一个式子表示的，则需要用分段函数表示．（几何背景的应用题常需要用分段函数表示！） 4．缴纳个人所得税也可以画线段示意图分段处理（分段纳税）．(另可建立分段函数模型) 常见函数的平方表示： ,f(x)-2=f 2(x)，(log a x )2=log a 2x ，(sinx )2=sin 2x ，(cosx )2=cos 2x ，(tanx )2=tan 2 x ． 基数免税 3% 10% 20% 3500元 1500元 3000元 4500元 26000元 25% 20000元 25000元 30% 35% 45% 学而不思则罔，思而不学则殆。 10 知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 补充 1．设f (x )，g(x)均为定义域相同的两段式的分段函数， ①若分段标准一致，则y =f (x )±g(x)，y =f (x )?g(x)，y =f(x)g(x)(g (x )≠0)等函数仍为两段式的分段函数． ②若分段标准不一致，则y =f (x )±g(x)，y =f (x )?g(x)，y =f(x)g(x)(g (x )≠0)等函数均为三段式的分段函数． 2．给出分段函数f (x )={f 1(x )，x ≤a ， f 2(x )，x >a ．如何解不等式（或方程）：f( g (x ))≥f(?(x))． 方法一：就g (x )，?(x)与a 的大小关系分四种情形，将两边代出后求解； 方法二：令g (x )=a ，?(x )=a ，解出x 的值，得到（能分段代出两边的）标准后，分段求解． 3．若f (x )=a n x n +a n;1x n;1+?+a 2x 2+a 1x +a 0，且f (t )=0，则f(x)必含有因式(x ?t)； 必要时可以用竖式除法或待定系数法将f(x)因式分解； 若x =x 0为f(x)的极值点，则x =x 0必为方程f (x )=f(x 0)的重根． 4．y =ax 2+bx +c =a (x +b 2a )2+4ac;b 24a 在a 确定的情况下，抛物线的形状（即开口大小）也就随之确定！ 5．三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的解析式：【其图象(a >0)的各种情形你知道吗？】 ①若已知f (x )=0的三个根为x 1，x 2，x 3，则可设f (x )=a (x ?x 1)(x ?x 2)(x ?x 3)． ②若已知f (x )=0的两个根为x 1，x 2，则可设f (x )=a (x ?x 1)(x ?x 2)(x ?m)． ③若已知f (x )=0的一个根为x 1，则可设f (x )=a (x ?x 1)(x 2+mx +n)． 6．三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有极值的充要条件是：f′(x )=3ax 2+2bx +c =0有两个不等实根． 【由f′(x )=3ax 2+2bx +c =3a (x ?x 1)(x ?x 2)的图象可知．】 无参函数先定性，定性之后再前行！ 定性：是指先确定函数定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，图象等性质；然后再结合性质去解题. a a 1 a 2 学而时习之，不亦说乎！ 11 知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 专题4 值域，最值(B1) 1．观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值． 2．配方法（对称轴法）：对于型如f (x )=ax 2+bx +c ，x ∈,m ，n-的形式的二次函数，利用配方法或直接利用对 称轴x =?b 2a 完成．可以结合图象完成求值域或最值．【配方其实也是为了找出对称轴！】 3．换元法：代数换元法，三角换元法．运用换元法解题时要注意新元的取值范围和整体置换的策略． ①y =ax +b + √cx +d ，令t =√cx +d ．（注意：该函数有时可直接快速判定单调性！） ②y =a f(x)，令u =f(x)，则y =a u ； ③y =log a f(x)，令u =f(x)，则y =log a u ； ④y =f(a x )，令t =a x ，则y =f(t)； ⑤y =f(log a x)，令t =log a x ，则y =f(t)； ⑥令a x +a ;x =t ，则a 2x +a ;2x =t 2?2(t ≥2)； ⑦令√1?x +√1+x =t ，则√1?x 2= t 2;22． ⑧y =ax +b ±2?x 2x =csinα，α∈,?π2，π2-（或令x =ccosα，α∈,0，π-）． ⑨x ∈R 时，令x =tanα，α∈(?π2，π2)； ⑩令sinx +cosx =t ，则sinxcosx =t 2;12． 4．图象法（数形结合法）： (直观实用！)■ ①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成． ②求f (x )=max*f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )+或f (x )=min*f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )+的值域，可先分别作出其中三个函数： f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )的图象，再利用它们的交点分段确定f(x)的图象，从而确定值域或最值． ③根据函数表达式的几何意义【分式→斜率？平方和（的算术根）→距离？等】，作出图象，求出值域或最值． 5．单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值． (优先考虑！)■ 6．有界性法：含x 2，|x |，√x ，x (x ∈(m ，n ))，a x ，sinx ，cosx 的函数，若可用y 表示它们，则常利用其有界性来 求值域或最值． 7．基本（均值）不等式法：利用a:b 2≥√ab 或a:b:c 3≥√abc 3(一正二定三相等)等公式来求值域或最值，一定要看等 号能否成立，否则用数形结合法、单调性法完成，如y =x +k x ( >0)． 【还要注意柯西不等式的应用．】 8．判别式法：用于y =f (x )=a 1x 2:b 1x:c 1
