雨润静荷14.命题:，使得成立；命题，不等式恒成立.若命
题为真，则实数的取值范围为___________.
15．若33sin()25
απ-=，则cos2α的值是 16.已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为
，，若，则的最小
值为__________． 三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（12分）已知函数
（Ⅰ）若)(x f 在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值；
（2）若函数)(x f 有三个不同零点，求a 的取值范围.
18.（12分）“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了 “微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000:步，（说明：“02000:”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000:步，C 、50008000:步，D 、800010000:步，E 、1000012000:步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1∶4∶3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图． E C O B A
类别 人数
D 1 ． ．
．
．
． ． ．
． 3 0.200 12 6 O 4 2 步数（千步） 频率/组距 0.075 10 8 0.150 0.025 0.050
（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000:的人数；
（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000:的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．
19.（12分）如图，平面CD AB ⊥平面D F A E ，其中CD AB 为矩形，D F A E 为直角梯形，F//D A E ，F F A ⊥E ，F 22D 2EF A ==E =．
（Ⅰ）求证：平面D BF ⊥平面BCD A ；
（Ⅱ）若三棱锥B ADF -体积为13，求BD 与面BAF 所成角的正弦值．
20.（12分）已知椭圆经过点，一个焦点的坐标为.
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线
与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求的取值范围.
21.（12分）已知函数()ln ()f x x ax b =-+.
（Ⅰ）当0a b +=时，()0f x ≤恒成立，求a 的值；
（Ⅱ）若()0f x ≤恒成立，求a b +的最小值.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.
22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分） 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为
. （Ⅰ）求直线与曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）设点，直线与曲线交于不同的两点，求的值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()212f x x x =++-的最小值为m .
（Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）若,,a b c 均为正实数，且满足a b c m ++=，求证: 222
3b c a a b c ++≥.
高二期末考试
数学试题答案
一．选择题
1.D
2.C
3.B
4.B
5.C
6.A
7.A
8.A
9.B 10.C 11.C 12.A
二．填空题 13.25
14. 15.257- 16.. 三．解答题 17.(1)因为
所以函数的单调减区间为
又
由
，
，
18．解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000:步的人数：男12人，
女14人……2分， 400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000:步的人数
约为：2640026040
?=人……4分； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000:的人数：男6人，女3人，共9人，
再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人. ……6分
列出6选2的所有情况15种……8分，至少1个女性有9种……10分 ，
设“其中至少有一位女性微信好友被采访”为事件A，
则所求概率
93
()
155
P A== (12)
分
19：（Ⅰ）证明：作,
DH AF H
⊥于
F F
A⊥E
Q，F22D2
EF
A==E=．
145
HF DH HDF
∴==∴∠=?，
2145
AF AH ADH
=∴=∴∠=?
Q．
90,
ADF DF AD
∴∠=?⊥
即：
F
BCD ADE
A⊥
Q面面，AD为两个面的交线
FD ABCD
∴⊥面．
BFD ABCD
∴⊥
面面……………………6分
（Ⅱ）因为平面ABCD⊥平面ADEF，A B⊥AD，
所以AB⊥平面ADEF，
111
||1||
333
B ADF ADF
V S AB AB
-?
=??=??=
所以|AB|=1, 3
BD
∴=
连接BH，易知DBH
∠为线BD与面BAF所成的角，……………………10分
在直角△BDH中，3,1
BD DH
==
3
sin
3
3
DBH
∴∠==
所以BD与面BAF所成角的正弦值为
3
3
．……………………12分
20.解：(1)
(2)
A
D
C
E
H
21.21. 解：（1）由0a b +=，得b a =-，则()ln f x x ax a =-+. ∴1()(0)f x a x x
'=->. ① 若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上递增.
又(1)0f =，∴.当1x >时，()(1)f x f >不符合题意.
② 若0a >，则当10x a <<
时，()0f x '>，()f x 递增；当1x a >时，()0f x '<，()f x 递减. ∴当0x >时，max 1()()1ln f x f a a a
