理解线性代数的命题核心 中公考研(3)

理解线性代数的命题核心 中公考研

线性方程组是线性代数的核心内容，在整个学科中占有很重要的位置。要正确理解这一部分的内容，需要综合运用矩阵、向量、秩等的基本概念和重要定理，对考生的综合能力要求较高。学好本章的内容对考生系统把握整个学科前半部分的理论体系有很关键的作用。 在学习本章的时候，考生要紧紧围绕如下这三个基本问题：

1.线性方程组有没有解(解的存在性)?

2.有解的时候，有多少解，解是唯一的还是无穷的多的(解的唯一性)?

3.有无穷多解的时候，通解怎么表示(解的结构)?

本章结合向量和秩的理论，对这三个问题都有回答。考生在学习的时候，首先要学会线性方程组的表示方法以及用高斯消元法求解线性方程组的方法，这是学习本章最基本的技能。然后，要结合向量来理解线性方程组的相关问题，要正确理解矩阵、行列式、秩等概念在整个理论体系中的作用，系统地把握整个体系。

五、矩阵的特征值与特征向量部分，理解概念方法，掌握矩阵对角化的求解

特征值与特征向量是线性代数在线性方程组以外的另一个核心问题。本章是考试的热点与难点，在考试中占有很大的比重。本章的内容综合性很强，需要考生在行列式、矩阵、线性方程组等部分具有扎实的基础。学好本章也是考生学习下一章二次型的基础。

从考试的角度看，本章主要有三个基本问题：

1.特征值与特征向量的定义、计算方法与常用性质;

2.矩阵相似对角化的定义、判断条件和计算方法以及矩阵的相似的定义与性质;

3.实对称矩阵的特征值与特征向量和相似对角化的特殊性质。

其中，矩阵的相似对角化是核心问题，考生需要重点掌握它的充要条件以及相关的常见计算。特征值与特征向量是研究相似对角化的工具，本章绝大部分计算都要通过特征值与特征向量来进行，所以掌握它们的定义和计算方法是本章对考生最基本的要求。同时，特征值与特征向量的常用性质也是很重要的考点。对于实对称我们要重点掌握它们的特殊性质，以及用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法，这也是学习第六章二次型的基础。