概率论五六章习题详解（王志刚版） (4)

1102??2?Xi?2(10),

0.3i?12利用?分布表，可得

2?102?P??Xi?1.44? ?i?1??11021.44??P?2?Xi?2?

0.3??0.3i?1?P??2?16? ?0.10 .

13. 设X1,X2,,X5是总体X25N(0,1)的一个样本，若统计量

U?c(X1?X2)X?X?X2324t(n)，试确定c与n .

解 由于Xi独立同分布(i?1,2,3,4,5),所以

X1?X22N(0,1),X32?X42?X52?2(3),且两者相互独立,由t分布

定义知U?X1?X22(X32?X42?X52)3t(3)

3故c? , n?3 .

214. 设总体X2(X?X)122Y?N(0,?) ，X1,X2 是样本，求

(X1?X2)2的分布.

(X1?X2)2U2X1?X2X1?X2,V??2， 解 记U?，则有Y?2(X1?X2)V2?2? 16

22X?XN(0,2?),X?XN(0,2?) 由于12122222UN(0,1),VN(0,1),U?(1),V?(1) . 则

下面证明U和V相互独立.

因为U，V都服从标准正态分布N(0,1)，因此只要证明U，V互不相关，即cov(U,V)?0即可.由于E(U)?0,E(V)?0，因此，

cov(U,V)?E(UV)?E(U)E(V)?E(UV)

1?2E?(X1?X2)(X1?X2)? 2?1?2E(X12?X22) 2??122??E(X)?E(X12)??0. 2?2?U2这样Y?2V15. 设总体XF(1,1).

N(?1,?2),YN(?2,?22),从二总体中分别抽取样本,

得到下列数据:

2n1?8 , x?10.5,s12?42.25 ； n2?10 , y?13.4,s2?56.25，

?22求概率P(2?4.40) .

?1S12S22解 由于F?22?1?2F0.05(7,9)?3.29

故P(F?3.305)?0.05 .

F(7,9)

17

?22S12?1242.25?4.40) 从而P(2?4.40)?P(2?2??1S2?256.25?P(F?3.305) ?1?P(F?3.305) ?1?0.05 ?0.95 .

B

1. 设有N个产品，其中有M个次品，进行放回抽样，定义Xi如下：

?1,第i次取得次品,Xi??

0,第i次取得正品.?求样本X1,X2,...,Xn的联合分布.

解: 因为是放回抽样，所以X1,X2,...,Xn独立同分布，

P?Xi?1??MM,P?Xi?0??1?.则X1,X2,...,Xn的联合分布为 NNnnxin??xiP?Xi?x1,,Xn?xn??(MN)?(1?MN)i?1i?1.

2．设总体Xn?2N(?,)，X1,X2,...,Xn是样本，证明：

nE([?(Xi?X)2]2)?(n2?1)?4.

i?1n(n?1)S2222(n?1)S?(X?X)?(n?1)?i证: 由和

?2i?1得

18

?2?22(X?X)?ii?1n?2?2(n?1) .

22使用?分布期望和方差的公式，E(?)?n?1,D(?)?2(n?1)，于是，

2??n?2????(Xi?X)??n??E([?(Xi?X)2]2)??4E??i?12????? i?1??????????22??4E?(??)??

??(D(?)???E(?)??)

224???4?2(n?1)?(n?1)?(n?1)? . ??42223.设X1,X2,...,X9是来自正态总体的简单随机样本，

Y1?(X1?X2??X6)6,Y2?(X7?X8?X9)3,

19S??(Xi?Y2)2,Z2?2(Y1?Y2)S .

2i?72证明统计量Z服从自由度为2的t分布.

22??2证: 因为D(X)??为末知，而E(Y1)?E(Y2)，D(Y1)?，D(Y2)?.

63?2?2?2??.故 由Y1与Y2的独立性，E(Y1?Y2)?0，D(Y1?Y2)?632U?Y1?Y(?2)N(0,1).

由正态总体样本方差的性质知，2S2?2?2(n).

又由Y1与Y2独立知，Y1与S独立，Y2与S独立，于是Y1?Y2也与S独立.从而，由t分布随机变量的构造知

19

222

Z?2(Y1?Y2)S?U

?22t(2).

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