矢织雾甜
概率论与数理统计 习题五
1 .已知E(X)?1，D(X)?4，利用切比雪夫不等式估计概率
P?X?1?2.5?.
解： 据切比雪夫不等式
?2P?X??????1?2
?4P?X?1?2.5??1?2
2.59? . 252．设随机变量X的数学期望E(X)??，方程D(X)??，利用切比雪夫不等式估计P?|X??|?3??.
解：令??3?，则由切比雪夫不等式
2P?|X??|?3???D(X) ， 有 ?2?21P?|X??|?3????. 2(3?)93. 随机地掷6颗骰子，利用切比雪夫不等式估计6颗骰子出现点数之和在1527之间的概率.
解： 设X为6颗骰子所出现的点数之和；
Xi为第i颗骰子出现的点数，i?1,2,,6，
则X??X，且X,X,...,Xii?16126独立同分布，
分布律为：
1
?12?11???6666??1?，于是 ?6?17E(Xi)??k??
62k?1191E(X)??k??
66k?12i26所以D(Xi)?E(Xi)?E(Xi)
229149?? 6435? ，i?1,2,,6 127因此 E(X)??E(Xi)?6??21
2i?1D(X)??D(Xi)?6?i?16635 1235? 2故由切比雪夫不等式得：
P?|5?X?27??P?14?X?28?
?P??7?X?21?7? ?P?|X?E(X)|?7?
?1?P?|X?E(X)|?7?
D(X)?1?2
713559?1???1??.
4921414
2
9即6颗骰子出现点数之和在1527之间的概率大于等于 .
144. 对敌阵地进行1000次炮击，每次炮击中。炮弹的命中颗数的期望为0.4，方差为3.6，求在1000次炮击中，有380颗到420颗炮弹击中目标的概率.
解： 以Xi表示第i次炮击击中的颗数(i?1,2,,1000)
有E(Xi)?0.4 ，D(Xi)?3.6
据 定理：
1000??则P?380??Xi?420?
i?1??420?400380?400??()??()
3600360011??()??(?)
331?2?()?1
3?2?0.6293?1 ?0.2586 .
5. 一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g. 求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率.
解： 设Xi为第i个螺丝钉的重量，i?1,2,,100， 且它们之间独立同分布，
3
于是一盒螺丝钉的重量X??X，
ii?1100且由E(Xi)?100，D(Xi)?10知
E(X)?100?E(Xi)?10000，D(X)?100，
由中心极限定理有：
?X?1000010200?10000?P(X?10200)?P???
100?10??X?10000??P??2? ?100??X?10000??1?P??2?
?100??1??(2)
?1?0.97725?0.02275 .
6. 用电子计算机做加法时，对每个加数依四舍五入原则取整，设所有取整的舍入误差是相互独立的，且均服从??0.5,0.5?上的均匀分布. （1）若有1200个数相加，则其误差总和的绝对值超过15的概率是多少？
（2）最多可有多少个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率达到90%以上.
解： 设Xi为第i个加数的取整舍入误差， 则?Xi?为相互独立的随机变量序列， 且均服从??0.5,0.5?上的均匀分布，则
E(Xi)????xdx?0
?0.50.5 4
1D(Xi)????xdx?
?0.51220.52（1） 因n?1200很大，
1200由独立同分布中心极限定理对该误差总和
?Xi?1i，
?1200?P??Xi?15? ?i?1??1200???Xi?15??i?1?P???
1200??1200?12??12????121200??2P?Xi?1.5? ??1200i?1????2(1??(1.5)) ?0.1336 .
即误差总和的绝对值超过15的概率达到13.36% .
(2) 依题意，设最多可有n个数相加，则应求出最大的n，
?n?使得P??Xk?10??0.9
?k?1?由中心极限定理：
?n???nP??Xi?10??P??Xi?i?1???i?1n?1012n??? 12???2?(10
n)?1?0.9 . 125
