心痛的诉说
北师大版教材在信息的提供途径上增加了图形；在选材上增加了已知部分量的比和部分量，求部分量的习题。
苏教版教材的习题设计现实性、趣味性和开放度都比较恰当，难度梯度适宜，需要学生灵活应用比的概念。下面选取几个具有代表性的习题进行分析。
习题1
能力水平：②理解概念
现实性：★★★ 趣味化：★ 开放度：★★
本题在解答时拓宽了比的应用，除了常规解法外，还可以渗透“1:40=（ ）:400”这种解法，为以后学习比例“1:40=X:400”打下很好的基础。同时，也可避免学生套用“按比例分配”这一种类型，避免学生把问题解决变成套用方法。
习题2
能力水平：③运用规则
现实性：★★★ 趣味化：★ 开放度：★★
本题将比的概念理解与问题解决自然融合。习题以图形呈现三种量的关系，除了丰富比的呈现形式外，学生在解答时需要灵活应用三种量之间的关系，而几何直观又降低了解题的难度。学生在问题解决的过程中深化了对比的理解和应用，体会到借助图形思考会是一件多
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么幸福的事，为利用数形结合解决相关问题积累了丰富的数学活动经验。
习题3
能力水平：④解决问题
现实性：★★ 趣味化：★★ 开放度：★★★
本题中，“面积是24平方厘米”会是解答的难点，如借助“a:b=3:2且a×b=24”这个方法解决就容易多了，只要利用比的基本性质将3:2化成等价类比6:4就能解决问题；还可以通过画图解决本问题，只要按照长与宽3:2的长度比推进，直至找到答案。习题开放度高，要求学生灵活应用比的知识解决问题。相对人教版的第5小题而言，人教版侧重考查长方体的特征，苏教版侧重考查比的灵活应用，应用比的知识解决。 三、 “比”的教学思考——形成概念体系
比的学习最终还要将新旧知识有机结合，形成完善的认知结构。良好的认知结构主要包括两个方面：一方面，理解并清晰把握知识与知识之间的关系，即明确每一个知识点之间内在与本质的联系，并在需要时能够灵活地调用、变通与转化，以解决数学问题，这是一种横向的、网络状的结构；另一方面，对于每一个知识，不仅要知道它的名称与定义，还应具备对它进行判断、计算与应用等各个层次的相应能力，能解决涉及该知识不同水平要求的数学问题，即拥有该知识从记忆到应用的丰富能力结构，这是一种纵向的、多层次的结构。
小学数学最核心的两个概念是分数和除法（顾泠沅）。研究与比有关的概念，不可避免地从分数、除法这个两个视角去审视比。张奠宙教授指出“分数是两个整数的比（比值）。但小学数学课程的安排是先学分数，再学比。因此，不可能在一开始就采用比作为分数的定义。”但据他的调查发现，已经学过比的六年级学生仍然缺乏用比和比例的眼光去审视分数。他主张在教学处理上，第一阶段的分数教学，先出分数的份数定义（显示过程），然后过渡到商定义（表示结果），最后用比定义来加深对分数的理解。
在教学中，我们还可以利用以下类型的教学材料帮助学生完善认知结构，并形成以分数、除法为核心的概念体系。
1.从分数意义的角度认识比。
在教学比的意义时，我们经常会思考这样问题：为什么要学习比？前文已述，比的学习可以丰富学生对分数的认识，能有助于学生从比的角度审视分数。这样看来，同类量的比更符合这个特点。而两个异类量的比更适合在教学“正比例的意义”和“正比例解决问题”时展开（这里不作论述）。当两个同类量在做比较时，出现作为基准的、固定的量的产生，即“标
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准量”（俗称单位“1”的量），而与之比较的称“比较量”，这也是产生分数、百分数和倍的基础。在分数的三种定义（笔者注：不妨说是分数意义的不同维度）教学中，可以这样规划教学点：
份数定义：《分数的初步认识》（一个物体平均分）、《分数的意义》（看成整体后的平均分） 商定义：《分数与除法的关系》
比定义：《比的意义》（异类量的比可以淡化）
由此可见， 比的意义教学价值在于使学生能从比的角度加深对表示两个量关系的分数的理解。在比的意义教学时，可以给学生提供以下教学材料。
从这右图上你可以找到哪些比？比值表示什么意义？整理成如下表。
比较量 长方形A 长方形B 长方形A A、B相差的部分 … 标准量 长方形B 长方形A 整个长方形 长方形A … 比 3:4 4:3 3:7 1:3 … 比值 3/4 4/3 3/7 1/3 … 以1:3为例，表述为：A、B相差部分与A的比是1:3，比值是1/3，表示相差部分是A的1/3，也可以说B比A多1/3。
观察1/3，请你读一读、写一写。
①读作三分之一，先写分数线（表示平均分），再写分母（表示平均分的份数），最后写分子（表示取的份数）
②读作一比三，先写前项1（表示比较量），再写分数线（即比号），最后写后项（表示标准量）
看到1/3，学生往往只把它当成分数，把它看成比也很重要。分数的书写顺序不是一种规定，而是与它的内涵有关系。通过比值意义的理解、读写的比较沟通，使学生明白分数可以看成比。这样的教学能加深学生对“比”这个概念内涵的理解，也有助于学生从“比”的角度领会分数概念的内涵。
2.从比的意义角度重新认识分数。
在教学中，教师往往将“比的应用”和“分数解决问题”进行单相转化，在解决按比分配的题目时认为“将比转化成分数”是当然的，而淡化了“分数转化成比”的策略。以下是笔者对任课教师做的一份调查问卷的一题。
学生在解答“某班50人，男生人数是女生的2/3。求男生人数是多少？”列式：50÷（2+3）×2。课堂上遇到这样的教学生成，你会怎么处理？
□ 肯定做法的正确性，不作展开，把学生的思维导向列方程解答（x+2/3x=50） □ 肯定做法的正确性，展开讨论，不提倡这样的方法
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□ 肯定做法的正确性，详细讨论，在后续教学中增加利用比的策略解决分数问题 调查结果显示，有44%的教师选择第一种处理方式，他们认为这种方法太“幼稚”，六年级的学生思维水平应该指向方程；选第二项的高达20%，他们认为这题是分数乘除法解决问题，与比无关；也有36%的教师认为可以补充这种解答策略。从调查结果及以往教学活动中发现，教师在解决问题教学时还是以“模型应用”为主，传统的应用题教学的烙印还是很深刻，讲究题型的分辨和模型的应用，而人为割裂分数与比的双向转化，这不利于学生对“比”概念的应用。
3.从整体上认识两个量的关系。
数学概念是整个数学认知结构的基础与核心，其问题解决的实质就是概念的应用。还可以增加如下教学材料，进一步拓宽学生的视野，从整体上认识两个量之间的关系，沟通分数、除法、百分数、倍和比之间的关系，使之熟练地相互转化，实现概念横向和纵向的沟通。
教学材料1.书法小组有男生5人，女生4人。可以怎样表示这两个量之间的关系。整理成下图：
两个量的关系 书法小组有男生5人，女生4人。 分数 百分数 倍 除法5÷4 5/4 125% 1.25 （比 5：4） 除法4÷5 4/5 80% 0.8倍 … … … … 告诉学生：除法太强大了！表示两个数量的关系用除法运算，还可以用比表示，用分数、百分数和倍来表示除法的商或比的比值；分数就是两个整数的比；倍就是后项是1的比；百分数就是后项是100的比，百分数还是分母是100的分数。
教学材料2.下面的方格边长1厘米，按照要求在方格纸中画一个周长是16厘米的长方形。（注：限于篇幅，减小了方格数量） 长方形①：长是宽的3倍 长方形②：宽是长的1/7 长方形③：长与宽的比是5:3
长方形④：宽是长的60% 学生在解答本题时，往往喜欢先做第三题，他们认为比简单，只要设定长5格、宽3格， 如不够，则按这个比例放大或缩小。于是，在后续的习题中，学生主动将倍、分数和百分数分别转化成3:1、1:7、3:5，从比的角度重新审视两个量的关系，在表示两个量的关系时，这四者是统一的，只不过形式不同。
这样的沟通比较，使学生对于这些概念之间的关系不仅仅停留在“两个数相除又叫两数
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的比”、“比的前项相当于分数的分子、除法的被除数??”这样的表面认识上，而是从整体上重新认识“两个量的关系”，用“比”重新认识分数和百分数，并使得学生的认知结构得以完善，逐渐形成以分数、除法为核心的概念体系。
全文综述：比是一个重要的数学概念，比的教学丰富了分数、除法的意义。通过比的学习，应该让学生学会应用比的思维模式解决问题，学生在此过程中也会感受到比这部分知识的学习价值，认识到学习比的必要性。但，正如本文所分析和阐述的三种版本教材的对比，教材并不是完美的，需要我们一线教师在教学时善用教材、合理取舍，在教学时选择、补充和整合教学材料。
参考文献：
[1] 罗永军.外显与内蕴：例说小学数学习题的评价.浙江省三项论文评比，2012. [2] 沈玉华.扩大比的应用 拓展解题策略.小学教学设计[J]，2014，7-8.
[3] 王永.比是什么—台湾地区关于“比”的教材改革的启示.小学教学（数学版）[J]，2009（6）：43-44. [4]《数学辞海》编辑委员会编.数学辞海（第一卷）[M].北京：中国科学技术出版社，2002. [5] 张奠宙.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009.
[6] 朱德江.融概念理解于解决问题的过程中.小学教学（数学版）[J]，2007，9. [7] 孟祥瑞.“比的认识”再思考.教学月刊[J]，2013，7-8.
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