比的意义和应用教材对比研究 - 图文

“比的意义和应用”教材对比研究

——以教学材料对概念形成的影响为视角

摘要：比的意义和应用在小学阶段是重要的学习内容，它丰富了分数概念体系，培养学生从比的角度重新审视“两个量的关系”，并形成比的概念。我们选取了三种版本教材，以“比的意义”和“比的应用”为例进行教学材料对比分析，剖析三种版本教材提供的教学材料对形成比的概念的影响。研究发现北师大版和苏教版提供的教学材料更有利于学生成比的概念。通过研究，我们试图为教材编写者提供参考依据，为一线教师研读教材、课堂实践提供参考。 关键词：教材对比 概念教学 比的意义 比的应用

概念是数学知识体系的基础。它不仅是学习数学定律、法则和公式的知识起点，还是进行数学推理、判断和证明的逻辑依据，而且是正确进行数学运算、数学思考和问题解决的先决条件。概念教学的重要意义不言而喻。“比”在数学中是一个重要的概念，体会比的意义和价值是教材内容的核心思想。学生学习比的知识可以丰富分数概念的内涵，架构以分数为核心的概念体系。

本文选取了人教版、北师大版和苏教版三种版本的教材，对三种版本教材有关比的内容编排体系做了研究，发现三种版本的教材都将这块内容安排在分数与除法的关系、分数乘除法运算及问题解决的基础上教学的，但三种版本教材在例题选择和习题设计上有着较大的差异。那么，教材提供的教学材料对学生“比”概念形成的影响又如何呢？ 一、 “比的意义”教学材料对比——概念从表象到抽象

《辞海》中“比”描述为“比较两个同类量a与b的关系时，如果以b为单位来度量a，称为a比b。”建立比的严格理论的是欧多克索斯（Eudoxus,B.C.400~B.C.347）,他引入一个变量的概念，量指线段、角、面积和时间等可以连续变动的东西，他用量这个概念建立了比和比例的理论，把有公度的比和无公度的比（笔者注：比值为无理数，如圆周率）都包括进去了。例如：线段的度量，通过两条线段中所含“数目”的比来确定线段的长短。两个“量”的比来确定线段的“大小”，导致作为基准的、固定的量的产生，即“单位长”的出现。要度量一条线段的长度，只需要将这以线段与“单位长”比较后，得出其“比值”即可。

王永教授认为 “比源于度量，度量解决了物体可度量的属性（长度、面积、体积和质量）的可比性，比却能够解决物体不可度量的属性（颜色、形状和质地等）的可比性。他主张将比定义为“比是两个量的对等（对应或配对）关系的记录”(笔者注：台湾教材的定义) ，对等关系才是比的本质属性。

概念的陈述会影响学生对数学概念的学习。不同的概念陈述，表明了不同的认知难度，也就影响了学生对数学概念的理解和建构。现行教材更多的是采用描述性的语言，如“两个

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数相除又叫两个数的比”（人教版）、“像上面那样，两个数相除，又叫做这两个数的比”（北师大版）等等，共同特点是利用除法来定义比，突出比与除法的联系。另外，我们注意到三种版本的教材在研究比时，都提到“表示两个数量的关系”，比与分数也有着莫大的联系。因为分数的三种定义如下：

份数定义：分数是一个单位平均分之后的一份或几份。（现行教材的定义）

商定义：分数是两个整数相除的商，表示数m是数n的n分之m，或者说m是n的m/n倍的数。（现行教材隐含的定义） 比定义：分数是两个整数的比（值）。

比的教学可以完善分数概念的内涵，从这个角度去认识比，更容易使学生形成用比的眼光审视分数。三种版本教材都十分注重从学生的已有知识和经验出发，引导学生在具体情境中认识比，这样有利于学生形成正确的表象。从三种版本教学材料的选择和知识点的分布分析，又有着各自的特点。 教材提供的材料 知识点分布 1.定义：两个数相除又叫两个数的比 2.各部分的名称，读写法 3.比的分数形式 4.比与分数、除法的联系 1.定义：像上面那样，两个数相除，又叫做这两个数的比。 2.各部分的名称，读写法 3.比与除法、分数有什么关系？ 4.联系实际说说1：4的含义 1.定义：两个数的比表示两个数相除。 2.各部分的名称，读写法 3.比与除法、分数有什么关系？ 4.比的分数形式 材料1.长15厘米，宽10厘米的长方形，长与人宽的关系（分数、比） 教材料2.90分钟运行42252千米，表示路程和版 时间的关系 材料1.五个长方形长与宽的关系，既有长与宽北的比较，又有图形之间的横向比较。（分数、师比） 大材料2.马拉松选手跑40千米，大约需2时；版 汽车3时可以行45千米。比较速度。 材料3.三种苹果的总价和数量，比较单价。 材料1.2杯果汁和3杯牛奶，表示这两个数量苏之间的关系（相差量、分数、比） 教材料2.洗洁液与水的四种比，写分数。 小军15分钟，小伟20分钟，版 材料3.走一段路，比速度。 分析与思考：

小学生学习数学概念，一般要经过从具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡。因此，教学材料要尽可能联系学生的生活经验，运用各种直观因素，让学生借助充分的感性材料，发现和归结一类事物的一般和本质特征，从而辅助其建构抽象的数学概念。不论是进行抽象思维还是形象思维，都需要以一定的知识、经验和表象为基础，并对这些知识、经验和表象有深切的感知。表象的形成关键因素是依靠图形，利用图形形成对概念的初步理解，从这个角度思考，北师大版的教材是丰盈的。我们不妨来看看北师大版教材提供的材料。

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（注：2014秋新教材材料不变，呈现方式做了简化） 分析与思考：

学习材料数量的多少会影响小学生数学概念学习。学习材料的数量太少，学生感知不充分，就不能获得有关概念应有的表象，将影响对概念的本质属性和无关属性的比较、分析，影响数学概念的建构。北师大版教材联系学生已有的生活经验和学习经验设计了系列情境，引发学生的讨论和思考，并在此基础上抽象出比的概念。使学生体会引入比的必要性以及在生活中的广泛存在。这一系列情境也为学生理解比的意义提供了丰富的直观背景和具体案例。这些情境中既包括“哪些照片更像”（蕴伏图形的放大与缩小）、“速度”、“单价”等生活情境，也包括长方形的长与宽的比等数学情境，由浅入深体会生活中、数学中存在两个量之间的关系用比描述，表示两个数量间的倍比关系，既有同类量的比，有异类量的比，切实感受比的产生背景，理解比的意义。

另外，北师大版利用方格纸研究长方形长与宽的关系。教材给出的五个图形中A、B、D三个图形长是宽的1.5倍，宽是长的2/3，顺理成章引出长与宽的比是3:2，或者宽与长的比是2:3，原来是长和宽的长度比一致，所以是相似的，强烈的图形刺激更容易使学生形成比的表象。这样的概括过程更符合“比是两个量的对等（对应或配对）关系的记录”的本质意义。

概念教学的关键不是给概念下了什么定义，而是教学者、学习者对概念的感悟和理解，北师大教材这样的处理方式避开了繁复的概念定义，又能使学生领悟比的概念内涵。 二、 “比的应用”教学材料对比——概念从应用到拓展

“比的应用”是小学数学教学中的传统内容，但现行教材没有沿用原来“按比例分配”的名称，而是改为“比的应用”。教材这样的变化，一是为了比的概念理解与问题解决的自然

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融合，突出在问题解决中深化对比的理解和应用；二是因为这一类问题教学时“比例”的名称和概念都未引入，避免纠缠于名称而影响学生的数学思考（笔者注：可称之为按比分配）；三是避免成为一种题型教学，即避免教学时把这一问题归为一种类型，以致学生把问题解决变成套用方法。三种版本教材提供了如下的教学材料：

人教版 苏教版 北师大版

（注：人教版2014新教材增加了用长方形表示1：4，直观感受两种量的关系；北师大版2014新教材增加了“3x+2x=140”的方程解法） 分析与思考：

人教版和苏教版在解法上采用了“归一模型”和“分数乘法模型”两种。北师大版除了这两种模型外，还介入了方程和等价类比叠加的方式。采用列举的方法逐步逼近：3:2=30:20=60:40=?这样的方法看似“简单”、“幼稚”，但对比思维模式的形成却起着很好的作用，这是比模型的雏形。解决本题只要符合“a:b=3:2且a+b=140”，根据比的基本性质（笔者注：北师版直接应用分数的基本性质）可得3:2=84:56，这样的处理为学生以后学习比例做了充分的铺垫。

孔凡哲教授认为：课改以来，中国中小学数学教育正在走向兼顾归纳与演绎两种思维方式的趋势，教科书的呈现出现多种风格并存，探究发现式与有意义接受式互补并存，即“问题情境→建立模型→解释应用→拓展反思”的探究式呈现形式。那么，三种版本的教材是如何设计习题以帮助学生在建立模型后的“应用”及“拓展”呢？下面就从情景特征和能力水平两个维度来分析三种版本教材的习题设计。以下是对两个评价维度的说明： 情景特征

现实性：一个有着现实背景的数学问题，不仅能让学生体会到数学与生活的联系，更有利地促进学生思维水平，特别是识别、抽象、概括能力地提升。

趣味性：单调的习题形式容易让学生生厌，如果习题能切合儿童的天性，他会觉得有趣好玩，有利于形成积极数学学习情感。

开放度：一般来说条件不充分或者结论不确定的习题是开放题（戴再平）。但也有学者认为“具有多种不同的解法,或者有多种可能的解答”也可称之为“开放性”问题（郑毓信）。 能力水平

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水平①：知道事实和简单技能

知道某一数学上的事实性知识，在具体情境中识记、再认出有关的对象。 水平②：理解概念

理解概念，能够根据概念的定义、性质和特征在具体的情境进行表示、举例和判断，还包括能够识别出那些可以根据给定的信息（如数据）解决的问题，以及明确对象与有关对象的区别和联系对事物进行比较、分类、排序等。

水平③： 运用规则

在各种变化的情境中运用规则，能够使用具体的模型或符号的方法解决问题，还包括阅读能力、产生图表能力、进行几何建构和解释模型的意义等非计算性的技能。

水平④： 解决问题

能够从给定的信息中做出合理的假设、猜想和有效的预测和推断，在新的环境中使用推理，进行分析和评价，能够把所知道的所有的数学概念、程序、推理和信息交流的技能都联系到一起解决问题，并且能够用数学的方法和理由来证明或反驳某一陈述的真实性。 对三种版本教材习题的情景特征分析汇总如下（注：以★★★为最高） 现实性 趣味性 开放度 ①知道事实、简单技能 ②理解概念 ③运用规则 ④解决问题 分析与思考：

人教版教材习题的类型都是利用总量计算部分量，比的呈现形式是有“部分量的比”和“部分量的数据”两种，提供信息的途径只有文字叙述一种。仍然延续“按比例分配”的内容，以“已知几个量的和与几个量的比，按照比分配”这样的习题诠释比的应用（笔者注：2014新教材习题设计总体上没有变化，做了顺序的调整）。习题中还出现科学性的错误在练习十二第1小题“空气中氧气和氮气的体积比是21:78。660立方米空气中有氧气和氮气各多少立方米？”，应该改为“空气中氧气、氮气和其他气体的体积比是21:78:1”（笔者注：2014新教材人教版已删除本题，北师大版却把题新增进去）。如下图：

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人教版总评 ★★ ★ ★ 北师大版总评 ★★ ★☆ ★ 苏教版总评 ★★☆ ★☆ ★★ 对三种版本教材习题的能力水平分析汇总如下： 人教版（10题） 北师大版（8题） 苏教版（11题） 题数 百分比 5 3 2 0 50% 30% 20% 0 题数 3 3 2 0 百分比 37.5% 37.5% 25% 0 题数 3 5 2 1 百分比 27.3% 45.5% 18.2% 9 %