桃花散漫
由①②知AB的方程为
3x?ty?1,即x?3(1?ty) 3易知右焦点F（3,0）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（3,0）
x2?y2?1,化简得7y?6y?1?0 （2）把AB的方程x?3(1?y)代入443||2336?28163?∴|AB|?1?3? ? 又M到AB的距离d?3771?3∴△ABM的面积S?1163 ?|AB|?d?221◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接
引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。
◆方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？
参考：PPT圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库 参考：“尼尔森数学第一季_3下”，优酷视频
拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，资料
练习1：（2013年广东省数学（理）卷）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点
F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为
线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(Ⅰ) 求抛物线C的方程;
32.设P为直线l上的点,过点P作抛物2(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x2?4cy,由0?c?22?32结合c?0,2解得c?1.所以抛物线C的方程为x?4y.
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(Ⅱ) 抛物线C的方程为x2?4y,即y?121x,求导得y??x 42x12x22,y2?设A?x1,y1?,B?x2,y2?(其中y1?), 44则切线PA,PB的斜率分别为
11x1,x2,
22x1x1x12x??y1,即x1x?2y?2y1?0 所以切线PA：y?y1??x?x1?,即y?222同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0
因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0 所以?x1,y1?,?x2,y2?为方程x0x?2y0?2y?0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知AF?y1?1,BF?y2?1, 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1 联立方程??x0x?2y?2y0?02?x?4y222,消去x整理得y?2y0?x0y?y0?0
??由一元二次方程根与系数的关系可得y1?y2?x02?2y0,y1y2?y02 所以AF?BF?y1y2??y1?y2??1?y0?x0?2y0?1
22又点P?x0,y0?在直线l上,所以x0?y0?2,
1?9?所以y0?x0?2y0?1?2y0?2y0?5?2?y0???
2?2?2222所以当y0??
91时, AF?BF取得最小值,且最小值为.
2222练习2：（2013年辽宁数学（理））如图,抛物线C1:x?4y,C2:x??2py?p?0?,
点M?x0,y0?在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O)x0?1?2,切线MA.的斜率为-(I)求p的值;
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(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方.A,B重合于O时,中点为O.
??
【答案】
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模型三：相交弦过定点
相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。
x2y2例题：如图，已知直线L：x?my?1过椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点F，
ab且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线G:x?a上的射影依次为点D、E。连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，
并给予证明；否则说明理由。
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法一：解：?F(1,0),k?(a,0) 先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，
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a2?1,0)猜想：当m变化时，AE与BD相由对称性知，AE与BD相交于FK中点N ,且N(2。a2?1,0) 交于定点N(2证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),E(a2,y2),D(a2,y1)，当m变化时首先AE过定点N
?x?my?1??22即(a2?b2m2)y2?2mb2y?b2(1?a2)?0....8分2222?bx?ay?ab?0??4a2b2(a2?m2b2?1)?0(?a?1)?y1?y2又KAN?2,KEN?a?11?a2?my122a2?1(y1?y2)?my1y2而KAN?KEN?222?01?aa?1(?my1)22a2?1(这是?(y1?y2)?my1y22a2?12mb2b2(1?a2)??(?2)?m?22a?m2b2a?m2b2(a2?1)?(mb2?mb2)??0)222a?mb
∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线 同理可得B、N、D三点共线
a2?1,0)∴AE与BD相交于定点N(2
法2：本题也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得与x轴交点M、N,然后两个坐标
相减=0.计算量也不大。
◆方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。
x22例题、已知椭圆C：?y?1，若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上
4异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
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