凌霜傲雪概率论与数理统计及其应用习题解答
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第一次就检验出该型血的概率为0.4；
第二次才检验出该型血的概率为0.6?0.4=0.24；
第三次才检验出该型血的概率为0.62?0.4=0.144；
第四次才检验出该型血的概率为0.63?0.4=0.0864；
所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704
20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p ，试求系统的可靠性。
解：设“元件i 能够正常工作”记为事件)5,4,3,2,1(=i A i 那么系统的可靠性为
)()()()}()(){(5432154321A A P A P A A P A A A A A P ++=??
)()()()(543215435421321A A A A A P A A A P A A A A P A A A P +--- )()()()()()()()()()()()(542132154321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P --++= )()()()()()()()(54321543A P A P A P A P A P A P A P A P +-
534322p p p p p p p +---++=
543222p p p p p +--+=
21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes 公式）
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解：设“一产品真含有杂质”记为事件A ，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件B 。则要求的概率为)|(B A P ，根据Bayes 公式可得
)
|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P += 又设“产品被检出含有杂质”记为事件C ，根据题意有4.0)(=A P ，而且8.0)|(=A C P ，9.0)|(=A C P ，所以
384.0)8.01(8.0)|(223=-??=C A B P ；027.09.0)9.01()|(223=?-?=C A B P 故，
9046.01698
.01536.0027.06.0384.04.0384.04.0)|()()|()()|()()|(==?+??=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P
第2章 随机变量及其分布
1，设在某一人群中有40%的人血型是A 型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A 型的人为止，以Y 记进行验血的次数，求Y 的分布律。
解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k 表明第k 个人是A 型血而前1-k
个人都不是A 型血，因
此有 116.04.0)4.01(4.0}{--?=-?==k k k Y P ， （ ,3,2,1=k ）
上式就是随机变量Y 的分布律（这是一个几何分布）。
2，水自A 处流至B 处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X 表示当信号发出时水自A 流至B 的通路条数，求X 的分布律。设各阀门的工作相互独立。 解：X 只能取值0，1，2。设以)3,2,1(=i A i 记第i 个阀门没有打开这一事件。则)}(){()}({}0{3121321A A A A P A A A P X P ?=?==
)()()()()()()(}{}{}{32131213213121A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A P A A P -+=-+= 072.0)8.01()8.01()8.01(322=---+-=，
类似有512.08.0)()}({}2{3321321=====A A A P A A A P X P ，
416
.0}2{}0{1}1{==-=-==X P X P X P ,综上
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12 所述，可得分布律为
3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X 表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问X 服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。 解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为
15,2,1,0,8.02.0)(1515 =??==-k C k X P k
k k 。
（1）,2501.08.02.0)3(1233
15=??==C X P
（2）8329.0)0()1(1)2(==-=-=≥X P X P X P ；
（3）；
（4
）
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16 时，系统正常工作。现有一][5/3G 系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。
解：对于][5/3G 系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X
服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为
99144.01.09.0)(5355
53=??==∑∑=-=k k k k k C k X P 5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立） 解：根据题意，次品数X 服从二项分布B(8000, 0.001)，所以
∑=-?=≤=<6080008000999.0001.0)6()7(k k
k k C X P X P
3134.0!8!)001.08000(608
6
0001.08000==?≈∑∑=-=?-k k k k k e k e （查表得）。 6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~)10(π，求}15{>X
P （2）已知随机变量X~)(λπ，且有5.0}0{=>X
P ，求}2{≥X P 。 解：（1）0487.09513.01}15{1}15{=-=≤-=>X P X
P ； （2）根据5.01}0{1}0{=-==-=>-λe X P X P ，得到2ln =λ。所以
1534.02/)2ln 1(5.01}1{}0{1}2{≈-=--==-=-=≥-λλe X P X P X P 。
7，一电话公司有5名讯息员，各人在t 分钟内收到讯息的次数)2(~t X π（设各人收到讯息与否相互独立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。 解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数
)2(~πX 。 （1）1353.0}0{2≈==-e X P ；
（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y 表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以
00145.0)1353.01(1353.0}4{445=-?==C Y P 。
（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为
()∑∑∞=-∞=-???? ??=???? ??051005
2
!32!2k k k k k e k e
8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X 表示铃响
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17 至结束讲解的时间。设X 的概率密度为???≤≤=他其100)(2x kx x f ， （1）确定k ；（2）求}3
1{≤X P ；（3）求}2141{≤≤X P ；（4）求}3
2{>X P 。 解：（1）根据3)(11
2k dx kx dx x f ===
??+∞∞-，得到3=k ； （2）271313}31{3
3/10
2=??? ??==≤?dx x X P ； （3）64741213}2141{332/14/12=??
? ??-??? ??==≤≤?dx x X P ； （4）27193213}32{313
/22=??? ??-==>?dx x X P 。 9，设随机变量X 的概率密度为
???≤≤=他其1000003.0)(2x x x f ，求t 的方程04522=-++X Xt t 有实根的概率。
解：方程04522=-++X Xt t
有实根表明0)45(442≥--=?X X ，即0452≥+-X X ，从而要求4≥X 或者1≤X 。因为
001.0003.0}1{1
02==≤?dx x X P ， 936.0003.0}4{104
2==≥?dx x X P
所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.
10，设产品的寿命X （以周计）服从瑞利分布，其概率密度为
??
???≥=-他其00100)(200/2x e x x f x
（1） 求寿命不到一周的概率；
（2） 求寿命超过一年的概率； （3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。
解：（1）00498.01100}1{200/11
200/2≈-==<--?
e dx e x X P x ； （2）000001.0100}52{200/270452
200/2≈==>-+∞-?e dx e x X P x ；
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18 （3）25158.0100100}20{}26{}2026{200/27620200/26
200/22≈==>>=>>-∞+-+∞
-??e dx e x dx e x X P X P X X P x x 。
11，设实验室的温度X （以C 计）为随机变量，其概率密度为
??
???≤≤--=他其210)4(91)(2x x x f （1） 某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。
（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y 表示10个实
验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y 的分布律。
（3） 求}2{=Y P ，}2{≥X P 。
解：（1）?=-=>2
12275)4(91}1{dx x X P ；
（2）根据题意)27
5,10(~B Y ，所以其分布律为 10,2,1,0,2722275)(1010 =??
? ?????? ???==-k C k Y P k k k
（3） 2998.02722275)2(82210=??
? ?????? ???==C Y P ， 5778.0)1()0(1)2(==-=-=≥Y P Y P Y P 。
12，（1）设随机变量Y 的概率密度为
??
???≤<≤<-+=他其100102.02.0)(y y Cy y f 试确定常数C ，求分布函数)(y F ，并求}5.00{≤≤Y
P ，}1.0|5.0{>>Y Y P 。
（2）设随机变量X 的概率密度为 ??
???≤≤<<=他其422008/8/1)(x x x x f 求分布函数)(x F ，并求}31{≤≤
x P ，}3|1{≤≥X X P 。
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解：（1）根据24.0)2.0(2.0)(11
001C dy Cy dy dy y f +=++==
???-+∞∞-，得到2.1=C 。
110011)2.12.0(2.0)2.12.0(2.02.00)()(01
100101≥<≤<≤--
????+++=y y y y y y y 25.02.045.0)0()5.0(}0{}5.0{}5.00{=-=-=≤-≤=≤≤F F Y P Y P Y P ；
7106.0226.0145.01)1.0(1)5.0(1}1.0{1}5.0{1}1.0{}5.0{}1.0|5.0{=--=--=≤-≤-=>>=>>F F Y P Y P Y P Y P Y Y P
（2）442200881881810)()(20
422020≥<≤<≤
9/7)
3()1()3(}3{}31{}3|1{=-=≤≤≤=≤≥F F F X P X P X X P 。 13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X 表示第一次取到的数，以Y 表示第二次取到的数，求X 和Y 的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X 和Y 的联合分布律。 解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此
)1(1},{-=
==n n j Y i X P ，（j i ≠，且n j i ≤≤,1） 当n 取3时， 1},{=
==j Y i X P ,（j i ≠，且3,1≤≤j i ）,表格形式为
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14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A 是加油站的工作人员操作的，设备B 是有顾客自己操作的。A ，B 均有两个加油管。随机取一时刻，A ，B 正在使用的软管根数分别记为X ，Y ，它们的联合分布律为
（1） 求}1,1{==Y X
P ，}1,1{≤≤Y X P ；
（2） 求至少有一根软管在使用的概率； （3） 求}{Y X
P =，}2{=+Y X P 。
解：（1）由表直接可得}1,1{==Y X
P =0.2，
}1,1{≤≤Y X P =0.1+0.08+0.04+0.2=0.42
（2）至少有一根软管在使用的概率为
9.01.01}0,0{1}1{=-===-=≥+Y X P Y X P
（3）}2{}1{}0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X
P =0.1+0.2+0.3=0.6
28.0}0,2{}1,1{}2,0{}2{===+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P
15,设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为
?
??>>=+-他其，，0
,00),()42(y x Ce y x f y x
试确定常数C ，并求}2{>X P ，}{Y X P >，}1{<+Y X P 。
解：根据
1),(0
,0=??>>y x dxdy y x f ，可得
8
),(10
40
20
)
42(0
,0C
dy e dx e
C dy Ce
dx dxdy y x f y x
y x y x =
==
=
??????
+∞
-+∞
