童话幻灭因此所求直线方程为y +3=-43
(x +1),
即3x +4y +15=0.
例2 过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使：
（1）△AOB 面积最小时l 的方程；
（2）|PA |2|PB |最小时l 的方程.
解 方法一 设直线的方程为1=+b y
a x
(a ＞2,b ＞
1),
10 由已知可得112=+b
a . （1）∵2
b a 12?≤b a 12+=1，∴ab ≥8. ∴S △AOB =
21ab ≥4. 当且仅当
a 2=
b 1=21,即a =4,b =2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24y x +=1,即x +2y -4=0. （2）由a 2+b
1=1,得ab -a -2b =0, 变形得(a -2)(b -1)=2,
|PA |2|PB | =22)01()2(-+-a 222)1()02(b -+- =]4)1[(]1)2[(22+-+-b a ≥)1(4)2(2--b a .
当且仅当a -2=1,b -1=2,
即a =3,b =3时，|PA |2|PB |取最小值4.
此时直线l 的方程为x +y -3=0.
方法二 设直线l 的方程为y -1=k (x -2) (k ＜0),
则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于 A ??? ?
?-0,12k 、B （0，1-2k ）. （1）S △AOB =
21??? ??-k 12（1-2k ） =213?????
?-+-+)1()4(4k k ≥2
1（4+4）=4. 当且仅当-4k =-
k 1,即k =-21时取最小值，此时直线l 的方程为y -1=-21(x -2),即x +2y -4=0. （2）|PA |2|PB |=22441)1(k k
++ =844
22++k k ≥4, 当且仅当24
k =4k 2
,即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0. 例3 （12分）已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x +y +1=0,l 2:x +y +6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 2 2 2
11
解 方法一 若直线l 的斜率不存在，
则直线l 的方程为x =3,此时与l 1,l 2的交点分别是 A （3，-4），B （3，-9），
截得的线段长|AB |=|-4+9|=5,符合题意.
4分
若直线l 的斜率存在，
则设直线l 的方程为y =k (x -3)+1, 分别与直线l 1,l 2的方程联立，
由???=+++-=011)3(y x x k y ,
解得A ??
? ??+-+-141,123k k k k .
8分
由???=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ??? ??+-+-191173k k ，k k ,
由两点间的距离公式，得
2
1731
23??? ??+--+-k k k k +2
191141???
??+--+-k k k k =25， 解得k =0,即所求直线方程为y =1. 10分 综上可知，直线l 的方程为x =3或y =1.
12分
方法二 设直线l 与l 1,l 2分别相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0, 两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5 ① 6分
又(x 1-x 2)2
+(y 1-y 2)2
=25
② 联立①②可得???=-=-052121y y x x 或?
??=-=-50
2121y y x x ,
10分
由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x =3或y =1.
12分
例4 求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程.
解 方法一 由?
??+=+=13
2x y x y
12 知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1），
∴设直线l 2的方程为y +1=k (x +2),
即kx -y +2k -1=0.
在直线l 上任取一点（1，2），
由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等，
由点到直线的距离公式得
2211
22k k k +-+-=22)1(2322-++-，
解得k =2
1(k =2舍去)， ∴直线l 2的方程为x -2y =0.
方法二 设所求直线上一点P （x ,y ）,
则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称.
由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点
P 2???
? ??++2,200y y x x 在直线l 上. ∴???????++=+-=?--122
110000x x y y x x y y ，变形得???+=-=1100x y y x ,
代入直线l 1:y =2x +3，得x +1=23(y -1)+3,
整理得x -2y =0.
所以所求直线方程为x -2y =0.
1.（1）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程；
（2）过点A （8，6）引三条直线l 1,l 2,l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y =43x ,求直线l 1,l 3的方程. 解 （1）①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时，
13 设所求的直线方程为y =kx ,
将（-5，2）代入y =kx 中，
得k =-52，此时，直线方程为y =-5
2x , 即2x +5y =0.
②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为a
y a x +2=1， 将（-5，2）代入所设方程，
解得a =-2
1， 此时，直线方程为x +2y +1=0.
综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0.
（2）设直线l 2的倾斜角为α,则tan α=
43. 于是tan 2α=ααsin cos 1-=3
15354
1=-
, tan2α=724)43(143
2tan 1tan 22
2=-?
=-αα, 所以所求直线l 1的方程为y -6=
31(x -8), 即x -3y +10=0,l 3的方程为y -6=7
24(x -8), 即24x -7y -150=0.
2.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程. 解 方法一 设直线l 的方程为1=+b
y a x （a ＞0,b ＞0）, ∴A (a ,0),B (0,b ), ∴??
???=+=.123,24b a ab 解得???==.4,6b a ∴所求的直线方程为4
6y x +=1,
14 即2x +3y -12=0.
方法二 设直线l 的方程为y -2=k (x -3),
令y =0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k
2, 令x =0,得直线l 在y 轴上的截距b =2-3k . ∴??? ?
?-k 23(2-3k )=24.解得k =-32. ∴所求直线方程为y -2=-3
2(x -3). 即2x +3y -12=0.
3.已知三条直线l 1：2x -y +a =0（a ＞0）,直线l 2:4x -2y -1=0和直线l 3:x +y -1=0,且l 1与l 2的距离是510
7. (1)求a 的值；
(2)能否找到一点P ,使得P 点同时满足下列三个条件:
①P 是第一象限的点;②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的21;③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5.若能,求P 点坐标;若不能,说明理由.
解 (1)l 2即为2x -y -2
1=0, ∴l 1与l 2的距离d =
1057)1(2)21(22=-+--a , ∴521
+
a =1057,∴21+a =2
7, ∵a ＞0,∴a =3.
(2)假设存在这样的P 点.
设点P (x 0,y 0),若P 点满足条件②,则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x -y +C =0上， 且53
-C =52121
+
C ，即C =213或C =6
11， ∴2x 0-y 0+213=0或2x 0-y 0+6
11=0； 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式53
200+-y x =52321
00-+y x ，
15 即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|，
∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0；
由于P 点在第一象限，∴3x 0+2=0不满足题意. 联立方程??
???=+-=+-042021320000y x y x ， 解得??
???=-=,21,300y x (舍去). 由?????=+-=+-,042,061120000y x y x 解得???
????==18379100y x ∴假设成立，P ??
? ??1837,91即为同时满足三个条件的点. 4.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入，遇直线l :3x -2y +7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.
解 方法一 由???=+-=+-.
0723,052y x y x
得?
??=-=.2,1y x ∴反射点M 的坐标为（-1,2）.
又取直线x -2y +5=0上一点P （-5，0），设P 关于直线l 的对称点'P (x 0,y 0)，由'PP ⊥l 可知,k PP ′=-32=5
00+x y . 而'PP 的中点Q 的坐标为???
? ??-2,2500y x ,
Q 点在l 上，∴32250-x -222
0y +7=0. 由???????=+---=+.07)5(2
3,3250000y x x y 得???????-=-=.1332,131700y x 根据直线的两点式方程可得l 的方程为
29x -2y +33=0.
方法二 设直线x -2y +5=0上任意一点P （x 0,y 0）关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ), 则3
200-=--x x y
y
,
16 又'PP 的中点Q ???
?
??++2,200y y x x 在l 上，
∴3320
x x +-2320
y y ++7=0, 由???????=++-+?-=--0
7)(2332
0000y y x
x x x y y
可得P 点的坐标为
x 0=1342
125-+-y x ，y 0=1328
512++y x ，
代入方程x -2y +5=0中，
化简得29x -2y +33=0,
即为所求反射光线所在的直线方程.
一、选择题
1.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N +，b ∈N +，则可作出的l 的条数为（ ）
A .1
B .2
C .3
D .4
答案 B
2.已知直线l 1的方向向量为a =(1,3),直线l 2的方向向量为b =(-1,k ),若直线l 2过点（0，5），且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是（
） A .x +3y -5=0 B .x +3y -15=0
C .x -3y +5=0
D .x -3y +15=0
答案 B
3.若直线l 与两直线y =1,x -y -7=0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P （1，-1），则直线l 的斜率是（ ）
A .32
- B .32 C .-23
D .23
答案 A
4.直线x -2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是 （ ）
A .x +2y -1=0
B .2x +y -1=0
17 C .2x +y -3=0
D .x+2y -3=0 答案 D
5.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A .x +2y -6=0
B .2x +y -6=0
C . x -2y +7=0
D .x -2y -7=0 答案 B
6.点（1，cos θ）到直线x sin θ+y cos θ-1=0的距离是41(0°≤θ≤180°)，那么θ等于 （ ）
A .150°
B .30°或150°
C .30°
D .30°或210°
答案 B
二、填空题 7.设l 1的倾斜角为α，α∈??
? ??2,0π，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为-2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转2
π-α角得直线l 3：x +2y -1=0，则l 1的方程为 . 答案 2x -y +8=0
8.若直线l :y =kx -1与直线x +y -1=0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 .
答案 (1,+∞)
三、解答题
9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：
（1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为6
1. 解 （1）设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-
k 4-3，3k +4， 由已知，得（3k +4）（
k 4+3）=±6， 解得k 1=-32或k 2=-3
8. 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.
（2）设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程是y =6
1x +b ,它在x 轴上的截距是-6b ,
18 由已知，得|-6b 2b |=6，∴b =±1.
∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0.
10.一条光线经过P （2，3）点，射在直线l :x +y +1=0上，反射后穿过Q （1，1）.
（1）求光线的入射方程；
（2）求这条光线从P 到Q 的长度.
解 （1）设点Q ′(x ′,y ′)为Q 关于直线l 的对称点且QQ ′交l 于M 点，∵k l =-1，∴k QQ ′=1.
∴QQ ′所在直线方程为y -1=12（x -1）
即x -y =0.
由?
??=-=++,0,01y x y x 解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为??
? ??--21,21. 又∵M 为QQ ′的中点， 由此得???????-='+-='+21
2
12121y x . 解之得???-='-='.
2,2y x ∴'Q （-2，-2）.
设入射线与l 交点N ，且P ，N ，Q ′共线.
则P （2，3），Q ′（-2，-2），得入射方程为
2
22232++=++x y ，即5x -4y +2=0. (2)∵l 是'QQ 的垂直平分线，因而NQ ='NQ .
∴|PN |+|NQ |=|PN |+'NQ ='PQ =22)22()23(+++=41,
即这条光线从P 到Q 的长度是41.
11.已知正方形的中心为直线2x -y +2=0,x +y +1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x +3y -5=0,求正方形其他三边的方程. 解 设与直线l :x +3y -5=0平行的边的直线方程为l 1:x +3y +c
=0.
19 由???=++=+-0
1022y x y x 得正方形的中心坐标P （-1，0）， 由点P 到两直线l ,l 1的距离相等， 则2222311315
