童话幻灭
1
第九编 解析几何 §9.1直线的倾斜角与斜率
1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则
（ ）
A .0°≤α＜180°
B .0°≤α＜135°
C .0°＜α≤135°
D .0°＜α＜135°
答案 D
2.（20082全国Ⅰ文，4）曲线y =x 3
-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为
（ ）
A .30°
B .45°
C .60°
D .120°
答案 B
3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为
（ ）
A .1
B .4
C .1或3
D .1或4
答案 A
4.已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l 的斜率取值范围是
（ ）
A .［0，+∞）
B .（-∞，+∞）
C .［-1，+∞）
D .（-∞,-1）∪［0，+∞）
答案 D
5.若直线l 经过点（a -2，-1）和（-a -2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-3
2
的直线垂直，则实数a 的值为 . 答案 -3
2
例1 若α∈??
?
???2,6ππ，则直线2x cos α+3y +1=0的倾斜角的取值范围是
( )
A .??????26ππ，
B .??
?
???ππ，65 C .??
?
???6,0π
D .??
????65,2ππ 基础自测
2
答案 B
例2（12分）已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2
-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.
解 （1）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0, l 2:x =0,l 1不平行于l 2; 当a =0时，l 1:y =-3, l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;
2分
当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y =-x a 2-3,l 2:y =x a
-11-(a +1), l 1∥l 2???
???+-≠--=
-)1(3112a a a ，解得a =-1,
5分
综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分
方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-132=0， 由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2
-1)-136≠0, 2分
∴l 1∥l 2???
???≠?--=?--061)1(0
21)1(2a a a a
4分
??????≠-=--6
)1(0
222a a a a ?a =-1,
5分
故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分
（2）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0, l 1与l 2不垂直，故a =1不成立. 8分
当a ≠1时，l 1:y =-2
a
x -3, l 2:y =
x a
-11
-(a +1), 10分
3 由??? ??-2a 2a -11=-1?a =32. 12分
方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0，
得a +2(a -1)=0?a =3
2. 12分 例3 已知实数x ,y 满足y =x 2-2x +2 (-1≤x ≤1). 试求：23
++x y 的最大值与最小值.
解 由23
++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段
AB 上任一点（x ,y )的直线的斜率k ,如图可知：k PA ≤k ≤k PB ,
由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴34
≤k ≤8， 故23++x y 的最大值为8，最小值为34
.
1.直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的取值范围是
（ ） A .???
?????
???65,22,6ππππ B .???
??????
???πππ,656,0
C .???
???65,0π D .???
???65,6ππ
答案 B
2.已知两条直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8.当m 分别为何值时，l 1与l 2:
（1）相交？（2）平行？（3）垂直？
解 m=-5时，显然，l 1与l 2相交；
当m ≠-5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为
k 1=-43m
+，k 2=-m +52
，
它们在y 轴上的截距分别为b 1=435m
-，b 2=m +58
.
（1）由k 1≠k 2,得-43m
+≠-m +52
，
m ≠-7且m ≠
-1.
4
∴当m ≠-7且m ≠-1时，l 1与l 2相交.
（2）由???≠=,,2121b b k k ,得???????+≠-+-=+-m m m
m
584355243，m =-7.
∴当m =-7时，l 1与l 2平行. （3）由k 1k 2=-1, 得-43m +2??
? ??
+-m 52=-1，m =-313. ∴当m =-
3
13
时，l 1与l 2垂直. 3.若实数x ,y 满足等式(x -2)2
+y 2
=3，那么
x
y
的最大值为 （ ）
A.2
1 B.
3
3 C.
2
3 D.3
答案 D
一、选择题
1.直线x cos θ+y -1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是
（ ）
A .[)π,0
B .??
????ππ43,4
C .??????-4,4ππ
D .??
??????????πππ,434,0 答案 D
2.已知直线l 过点（a ,1)，（a +1,tan α +1),则 （ ）
A .α一定是直线l 的倾斜角
B .α一定不是直线l 的倾斜角
C .α不一定是直线l 的倾斜角
D .180°-α一定是直线l 的倾斜角
答案 C
3.已知直线l 经过A （2，1），B （1，m 2
）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是
（ ）
A .[)π,0
B .??
?
????????πππ,24,0
C .??
????4,0π
D .??
? ????????ππππ,22,4 答案 B
4.已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2与l 1关于直线y =x 对称，直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为
（ ）
5 A .21 B .-21 C .-2 D .2
答案 C
5.若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是（ ）
A .31-
B .-3
C .31
D .3
答案 A
二、填空题
6.（20082浙江理，11）已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2），C （3，a 3
）共线，则a = . 答案 1+2
7.已知点A （-2，4）、B （4，2），直线l 过点P （0，-2）与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 . 答案 （-∞，-3］∪［1，+∞）
8.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 .
答案 31 三、解答题
9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围. 解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点.
k AP =
1011+--=-2，k AQ =2021---=23， 则-
m 1≥23或-m 1≤-2， ∴-32≤m ≤2
1且m ≠0. 又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点，
∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤2
1. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为
y -1=1212+-(x +1),即y =31x +3
4, 代入x+my +m =0,
整理，得x =-
37+m m . 由已知-1≤-
37+m m ≤
2,
6 解得-32≤m ≤2
1. 10.已知直线l 1:x +my +6=0,l 2:(m -2)x +3y +2m =0,求m 的值，使得：
（1）l 1与l 2相交；（2）l 1⊥l 2;(3)l 1∥l 2;(4)l 1,l 2重合.
解 （1）由已知133≠m (m -2),
即m 2-2m -3≠0,
解得m ≠-1且m ≠3.
故当m ≠-1且m ≠3时，l 1与l 2相交.
（2）当12（m -2）+m 23=0，即m =
21时，l 1⊥l 2. (3)当21-m =3m ≠m
26,即m =-1时，l 1∥l 2. （4）当
21-m =3m =m 26， 即m =3时，l 1与l 2重合.
11.已知A （0，3）、B （-1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）.
解 设所求点D 的坐标为（x ，y ），如图所示，由于k AB =3，k BC =0，
∴k AB 2k BC =0≠-1，
即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边.
（1）若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ，
∵k BC =0，∴CD 的斜率不存在，从而有x =3.
又k AD =k BC ，∴x
y 3-=0，即y =3. 此时AB 与CD 不平行.
故所求点D 的坐标为（3，3）.
（2）若AD 是直角梯形的直角边，
则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ，
7 k AD =x y 3-，k CD =3
-x y . 由于AD ⊥AB ，∴
x y 3-23=-1. 又AB ∥CD ，∴3
-x y =3. 解上述两式可得???
????==,59,518y x 此时AD 与BC 不平行.
故所求点D 的坐标为??
? ??59,518, 综上可知，使ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为（3，3）或??
? ??59,518. 12.已知两点A （-1，2），B （m ，3）.
（1）求直线AB 的方程；
（2）已知实数m ∈???
?????---13,133，求直线AB 的倾斜角α的取值范围.
解 （1）当m =-1时，直线AB 的方程为x =-1,
当m ≠-1时，直线AB 的方程为y -2=
11+m (x +1). （2）①当m =-1时，α=2
π; ②当m ≠-1时，m +1∈(]3,00,33 ???
?????-， ∴k =
11+m ∈（-∞，-3］∪????????+∞,33， ∴α∈??
? ????????32,22,6ππππ . 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈??
????32,6ππ. §9.2 直线的方程、两直线的交点坐标与距离公式
基础自测
8 1.下列四个命题中真命题是 （ ）
A .经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y -y 0=k （x -x 0）表示
B .经过任意两个不同点P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程（y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示
C .不经过原点的直线都可以用方程1=+b y
a x
表示
D .经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示
答案 B
2.A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为（
） A .2x -y -1=0 B .x +y -5=0
C .2x +y -7=0
D .2y -x -4=0
答案 B
3.（20082全国Ⅱ文，3）原点到直线x +2y -5=0的距离为 （
） A .1 B .3 C .2 D .5
答案 D
4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为 ( )
A .2x +y =0
B .x -2y +5=0
C .x -2y =0
D .x +2 y -5=0
答案 A
5.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .
答案 x +2y -2=0或2x +y +2=0
例1 求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；
（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍.
解 （1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a
,
9 若a =0，即l 过点（0，0）和（3，2），
∴l 的方程为y =32
x ，即2x -3y =0.
若a ≠0，则设l 的方程为1=+a y
a x
，
∵l 过点（3，2），∴12
3
=+a a ，
∴a =5，∴l 的方程为x +y -5=0,
综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0.
方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0,
设直线方程为y -2=k (x -3),
令y =0，得x =3-k 2
,令x =0,得y =2-3k ,
由已知3-k 2
=2-3k ，解得k =-1或k =32
,
∴直线l 的方程为：
y -2=-（x -3）或y -2=32
(x -3),
即x +y -5=0或2x -3y =0.
（2）由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α，
则所求直线的倾斜角为2α.
∵tan α=3,∴tan2α=αα
2tan 1tan 2-=-43
.
又直线经过点A （-1，-3），
